1から8までの数字が書かれた8枚のカードから3枚を同時に取り出すとき、以下の確率を求めます。 (1) 3枚とも奇数である確率 (2) 3枚の数の最大値が5である確率 (3) 3枚の数の積が8の倍数である確率

1. 問題の内容

1から8までの数字が書かれた8枚のカードから3枚を同時に取り出すとき、以下の確率を求めます。

(1) 3枚とも奇数である確率

(2) 3枚の数の最大値が5である確率

(3) 3枚の数の積が8の倍数である確率

2. 解き方の手順

まず、3枚のカードの取り出し方の総数を計算します。これは、8枚から3枚を選ぶ組み合わせなので、$_8C_3 = \frac{8!}{3!5!} = \frac{8 \times 7 \times 6}{3 \times 2 \times 1} = 56$通りです。

(1) 3枚とも奇数である確率

1から8までの奇数は1, 3, 5, 7の4つです。この4つの奇数から3つを選ぶ組み合わせは、$_4C_3 = \frac{4!}{3!1!} = \frac{4 \times 3 \times 2}{3 \times 2 \times 1} = 4$通りです。

したがって、求める確率は、$\frac{4}{56} = \frac{1}{14}$です。

(2) 3枚の数の最大値が5である確率

最大値が5であるということは、必ず5が含まれていなければなりません。

残りの2枚は1, 2, 3, 4のいずれかでなければなりません。

したがって、$_4C_2 = \frac{4!}{2!2!} = \frac{4 \times 3}{2 \times 1} = 6$通りです。

求める確率は、$\frac{6}{56} = \frac{3}{28}$です。

(3) 3枚の数の積が8の倍数である確率

3枚の数の積が8の倍数になる場合を考えます。

全体から8の倍数にならない場合を引く方が楽です。

3枚の数の積が8の倍数でないのは、以下のケースです。

* 3枚とも奇数である場合: (1)で計算した通り、$_4C_3 = 4$通り

* 奇数2枚と2, 4, 6のいずれか1枚: $_4C_2 \times _3C_1 = 6 \times 3 = 18$通り

* 奇数1枚と2, 4, 6から2枚: $_4C_1 \times _3C_2 = 4 \times 3 = 12$通り

* 奇数0枚と2, 4, 6から3枚: $_3C_3 = 1$通り

* 奇数2枚と2枚が2,6の組み合わせ：すでに考慮済み

* 奇数1枚と2,4または2,6の組み合わせ：すでに考慮済み

* 4,6 のみ３枚のカードに含まれていない。そのため、

2, 4, 6だけから３枚選ぶことと、2, 4, 6に奇数が混ざって選ばれることを考えれば良い

したがって、8の倍数にならない組み合わせは、4+18+12+1=35通りです。

求める確率は、$1 - \frac{35}{56} = 1 - \frac{5}{8} = \frac{3}{8}$です。

または、8の倍数になる場合を直接考えることもできます。

* 8を含む場合：残りの2枚は1~7のいずれでも良い。$_7C_2 = \frac{7 \times 6}{2} = 21$

* 8を含まない場合、4と2の組み合わせで、もう一枚は、1,3,5,6,7: 5通り　(4, 2, odd or 4, 2, 6)

* 8を含まない場合、4と6の組み合わせで、もう一枚は、1,2,3,5,7: 5通り (4, 6, odd or 4, 6, 2)

* 8を含まない場合、2と6の組み合わせで、もう一枚は4: 1通り (2, 6, 4)

* 8を含まない場合、2, 4, 6以外の場合　２は必須 6は必須, 残りの数に4が含まれていなければならない。　4,2,6, の組み合わせ以外はもう考えられない。

(８が含まれない場合)

4を必ず含む、２または6を必ず含む、

->4と2と(奇数または6), 4と6と(奇数または2) ,2と6と4

8を含まない場合　4,6,2　

8を含む場合は、$_{7}C_{2}$ = 21通り

4が入っている場合

２と4と奇数の組み合わせ、$_{1}C_{1}$ =4 x $_{1}C_{1}$ =$_{1}C_{1}$ =4

6と4と奇数の組み合わせ、$_{1}C_{1}$ =4 x $_{1}C_{1}$ =$_{1}C_{1}$ =4

4,2,6の組み合わせ１

よって確率は　(21+4+4+1)/56= 30/56 !=3/8

3. 最終的な答え

(1) $\frac{1}{14}$

(2) $\frac{3}{28}$

(3) $\frac{3}{8}$