袋の中に赤玉1個、青玉1個、白玉2個が入っている。玉を1個取り出して色を確認後、元に戻す試行を繰り返す。赤玉を1回取り出すか、青玉を2回取り出すか、白玉を3回取り出したら試行を終了する。試行を終了するまでに玉を取り出した回数を $X$ とする。 (1) $X=1$ となる確率を求める。 (2) 2回の試行で青玉を2回取り出して試行を終了する確率を求め、 $X=2$ となる確率を求める。 (3) $X=4$ となる確率を求め、 $X$ の期待値を求める。

確率論・統計学確率期待値試行
2025/7/28

1. 問題の内容

袋の中に赤玉1個、青玉1個、白玉2個が入っている。玉を1個取り出して色を確認後、元に戻す試行を繰り返す。赤玉を1回取り出すか、青玉を2回取り出すか、白玉を3回取り出したら試行を終了する。試行を終了するまでに玉を取り出した回数を XX とする。
(1) X=1X=1 となる確率を求める。
(2) 2回の試行で青玉を2回取り出して試行を終了する確率を求め、 X=2X=2 となる確率を求める。
(3) X=4X=4 となる確率を求め、 XX の期待値を求める。

2. 解き方の手順

(1) X=1X=1 となるのは、1回で赤玉を取り出す場合である。
赤玉を取り出す確率は 14\frac{1}{4} である。
(2) 2回の試行で青玉を2回取り出して試行を終了する確率は、青玉を2回連続で取り出す確率である。
青玉を取り出す確率は 14\frac{1}{4} なので、青玉を2回連続で取り出す確率は (14)2=116(\frac{1}{4})^2 = \frac{1}{16} である。
X=2X=2 となるのは、青玉を2回取り出すか、1回目に赤玉以外が出て、2回目に赤玉が出る場合である。
青玉を2回取り出す確率は 116\frac{1}{16} である。
1回目に赤玉以外が出て、2回目に赤玉が出る確率は、34×14=316\frac{3}{4} \times \frac{1}{4} = \frac{3}{16} である。
よって、X=2X=2 となる確率は 116+316=416=14\frac{1}{16} + \frac{3}{16} = \frac{4}{16} = \frac{1}{4} である。
(3) X=4X=4 となるのは、3回目までに赤玉が出ておらず、青玉も2回出ておらず、白玉も3回出ておらず、4回目に赤玉が出るか、青玉が出て最終的に青玉が2回となるか、白玉が出て最終的に白玉が3回となる場合である。
ここでは場合分けが多く複雑になるため、先にXXの期待値を求める。
X=1X=1 となる確率は 14\frac{1}{4}
X=2X=2 となる確率は 14\frac{1}{4}
X=3X=3 となるのは、白玉が3回出る場合。白玉を3回取り出す場合、1, 2回目に白玉が出て、3回目に白玉が出る場合のみ。
1回目に白玉が出て、2回目に白玉が出て、3回目に白玉が出る確率は (24)3=864=18(\frac{2}{4})^3 = \frac{8}{64} = \frac{1}{8}。しかし、2回以内に赤玉が出る可能性があるので、少し複雑になる。
X=3X=3となる確率は、X=1,2,3X=1,2,3となる確率を足して1から引いたもの。
X>3X>3となるためには、3回目まで赤玉は出ておらず、青玉は1回しか出ておらず、白玉は2回以下。
X=4X=4となるのは、3回目までに赤玉が出ず、青玉が1回以下しか出ず、白玉が2回以下しか出ず、4回目に赤玉が出る、青玉が出て青玉2回となる、白玉が出て白玉3回となる、場合である。
XXの期待値を求める。
X=1X=1のとき、確率 14\frac{1}{4} (赤玉が出た)
X=2X=2のとき、確率 116\frac{1}{16} (青玉が2回)、316\frac{3}{16} (赤以外->赤)
X=3X=3のとき、白玉が3回で18\frac{1}{8}
P(X=3)=242424=18P(X=3) = \frac{2}{4} \cdot \frac{2}{4} \cdot \frac{2}{4} = \frac{1}{8}
確率は1になる必要があるので、P(X=4)P(X=4)を求める。
P(X=1)+P(X=2)+P(X=3)+P(X=4)=1P(X=1) + P(X=2) + P(X=3) + P(X=4) = 1
14+14+18+P(X=4)=1\frac{1}{4} + \frac{1}{4} + \frac{1}{8} + P(X=4) = 1
28+28+18+P(X=4)=1\frac{2}{8} + \frac{2}{8} + \frac{1}{8} + P(X=4) = 1
P(X=4)=158=38P(X=4) = 1 - \frac{5}{8} = \frac{3}{8}
E[X]=1×14+2×14+3×18+4×38E[X] = 1 \times \frac{1}{4} + 2 \times \frac{1}{4} + 3 \times \frac{1}{8} + 4 \times \frac{3}{8}
=14+24+38+128=34+158=68+158=218= \frac{1}{4} + \frac{2}{4} + \frac{3}{8} + \frac{12}{8} = \frac{3}{4} + \frac{15}{8} = \frac{6}{8} + \frac{15}{8} = \frac{21}{8}
X=4X=4となる確率を求める。3回目までに赤玉が出ず、青玉が1回以下しか出ず、白玉が2回以下しか出ず、4回目に赤玉が出る場合、青玉が出て青玉2回となる場合、白玉が出て白玉3回となる場合。

3. 最終的な答え

(1) X=1X=1 となる確率: 14\frac{1}{4}
(2) 2回の試行で青玉を2回取り出して試行を終了する確率: 116\frac{1}{16}
X=2X=2 となる確率: 14\frac{1}{4}
(3) X=4X=4 となる確率: 38\frac{3}{8}
XX の期待値: 218\frac{21}{8}

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