袋の中に赤玉1個、青玉1個、白玉2個が入っている。玉を1個取り出して色を確認後、元に戻す試行を繰り返す。赤玉を1回取り出すか、青玉を2回取り出すか、白玉を3回取り出したら試行を終了する。試行を終了するまでに玉を取り出した回数を $X$ とする。 (1) $X=1$ となる確率を求める。 (2) 2回の試行で青玉を2回取り出して試行を終了する確率を求め、 $X=2$ となる確率を求める。 (3) $X=4$ となる確率を求め、 $X$ の期待値を求める。
2025/7/28
1. 問題の内容
袋の中に赤玉1個、青玉1個、白玉2個が入っている。玉を1個取り出して色を確認後、元に戻す試行を繰り返す。赤玉を1回取り出すか、青玉を2回取り出すか、白玉を3回取り出したら試行を終了する。試行を終了するまでに玉を取り出した回数を とする。
(1) となる確率を求める。
(2) 2回の試行で青玉を2回取り出して試行を終了する確率を求め、 となる確率を求める。
(3) となる確率を求め、 の期待値を求める。
2. 解き方の手順
(1) となるのは、1回で赤玉を取り出す場合である。
赤玉を取り出す確率は である。
(2) 2回の試行で青玉を2回取り出して試行を終了する確率は、青玉を2回連続で取り出す確率である。
青玉を取り出す確率は なので、青玉を2回連続で取り出す確率は である。
となるのは、青玉を2回取り出すか、1回目に赤玉以外が出て、2回目に赤玉が出る場合である。
青玉を2回取り出す確率は である。
1回目に赤玉以外が出て、2回目に赤玉が出る確率は、 である。
よって、 となる確率は である。
(3) となるのは、3回目までに赤玉が出ておらず、青玉も2回出ておらず、白玉も3回出ておらず、4回目に赤玉が出るか、青玉が出て最終的に青玉が2回となるか、白玉が出て最終的に白玉が3回となる場合である。
ここでは場合分けが多く複雑になるため、先にの期待値を求める。
となる確率は
となる確率は
となるのは、白玉が3回出る場合。白玉を3回取り出す場合、1, 2回目に白玉が出て、3回目に白玉が出る場合のみ。
1回目に白玉が出て、2回目に白玉が出て、3回目に白玉が出る確率は 。しかし、2回以内に赤玉が出る可能性があるので、少し複雑になる。
となる確率は、となる確率を足して1から引いたもの。
となるためには、3回目まで赤玉は出ておらず、青玉は1回しか出ておらず、白玉は2回以下。
となるのは、3回目までに赤玉が出ず、青玉が1回以下しか出ず、白玉が2回以下しか出ず、4回目に赤玉が出る、青玉が出て青玉2回となる、白玉が出て白玉3回となる、場合である。
の期待値を求める。
のとき、確率 (赤玉が出た)
のとき、確率 (青玉が2回)、 (赤以外->赤)
のとき、白玉が3回で
確率は1になる必要があるので、を求める。
となる確率を求める。3回目までに赤玉が出ず、青玉が1回以下しか出ず、白玉が2回以下しか出ず、4回目に赤玉が出る場合、青玉が出て青玉2回となる場合、白玉が出て白玉3回となる場合。
3. 最終的な答え
(1) となる確率:
(2) 2回の試行で青玉を2回取り出して試行を終了する確率:
となる確率:
(3) となる確率:
の期待値: