確率変数 $Z$ が標準正規分布 $N(0, 1)$ に従うとき、以下の確率を求めます。 (1) $P(Z \ge 1)$ (2) $P(Z \le 0.7)$ (3) $P(0.8 \le Z \le 1.6)$ (4) $P(|Z| > 1.96)$

1. 問題の内容

確率変数 $Z$ が標準正規分布 $N(0, 1)$ に従うとき、以下の確率を求めます。

(1) $P(Z \ge 1)$

(2) $P(Z \le 0.7)$

(3) $P(0.8 \le Z \le 1.6)$

(4) $P(|Z| > 1.96)$

2. 解き方の手順

標準正規分布表を用いて確率を求めます。

(1) $P(Z \ge 1)$ は、$1 - P(Z < 1)$ で計算できます。標準正規分布表から、$P(Z < 1) \approx 0.8413$ なので、

$P(Z \ge 1) = 1 - 0.8413 = 0.1587$

(2) $P(Z \le 0.7)$ は、標準正規分布表から直接求められます。$P(Z \le 0.7) \approx 0.7580$

(3) $P(0.8 \le Z \le 1.6)$ は、$P(Z \le 1.6) - P(Z < 0.8)$ で計算できます。標準正規分布表から、$P(Z \le 1.6) \approx 0.9452$、$P(Z < 0.8) \approx 0.7881$ なので、

$P(0.8 \le Z \le 1.6) = 0.9452 - 0.7881 = 0.1571$

(4) $P(|Z| > 1.96)$ は、$P(Z > 1.96) + P(Z < -1.96)$ で計算できます。標準正規分布の対称性から、$P(Z > 1.96) = P(Z < -1.96)$ が成り立ちます。したがって、$P(|Z| > 1.96) = 2 \times P(Z > 1.96) = 2 \times (1 - P(Z \le 1.96))$ となります。標準正規分布表から、$P(Z \le 1.96) \approx 0.9750$ なので、$P(Z > 1.96) = 1 - 0.9750 = 0.0250$

$P(|Z| > 1.96) = 2 \times 0.0250 = 0.0500$

3. 最終的な答え

(1) $P(Z \ge 1) \approx 0.1587$

(2) $P(Z \le 0.7) \approx 0.7580$

(3) $P(0.8 \le Z \le 1.6) \approx 0.1571$

(4) $P(|Z| > 1.96) = 0.0500$