(1) 大、中、小の3つのサイコロを投げるとき、少なくとも1つは3の倍数の目が出る確率を求めよ。 (2) 大、中、小の3つのサイコロを投げるとき、3つの目の積が偶数である確率を求めよ。 (3) 6枚の硬貨を同時に投げるとき、少なくとも1枚は表が出る確率を求めよ。 (4) 男子5人、女子4人の中から3人の代表を選ぶとき、少なくとも男女1名ずつは選ばれる確率を求めよ。

1. 問題の内容

(1) 大、中、小の3つのサイコロを投げるとき、少なくとも1つは3の倍数の目が出る確率を求めよ。

(2) 大、中、小の3つのサイコロを投げるとき、3つの目の積が偶数である確率を求めよ。

(3) 6枚の硬貨を同時に投げるとき、少なくとも1枚は表が出る確率を求めよ。

(4) 男子5人、女子4人の中から3人の代表を選ぶとき、少なくとも男女1名ずつは選ばれる確率を求めよ。

2. 解き方の手順

(1) 少なくとも1つは3の倍数の目が出る確率を求める問題。余事象を考える。「少なくとも1つは3の倍数の目が出る」の余事象は「すべてのサイコロで3の倍数以外の目が出る」である。

3の倍数の目は3と6の2つなので、3の倍数以外の目は1,2,4,5の4つである。

1つのサイコロで3の倍数以外の目が出る確率は $\frac{4}{6} = \frac{2}{3}$ である。

3つのサイコロすべてで3の倍数以外の目が出る確率は $(\frac{2}{3})^3 = \frac{8}{27}$ である。

したがって、少なくとも1つは3の倍数の目が出る確率は $1 - \frac{8}{27} = \frac{19}{27}$ である。

(2) 3つの目の積が偶数である確率を求める問題。余事象を考える。「3つの目の積が偶数である」の余事象は「3つの目の積が奇数である」である。

3つの目の積が奇数になるのは、すべての目が奇数である場合である。

1つのサイコロで奇数の目が出る確率は $\frac{3}{6} = \frac{1}{2}$ である。

3つのサイコロすべてで奇数の目が出る確率は $(\frac{1}{2})^3 = \frac{1}{8}$ である。

したがって、3つの目の積が偶数である確率は $1 - \frac{1}{8} = \frac{7}{8}$ である。

(3) 少なくとも1枚は表が出る確率を求める問題。余事象を考える。「少なくとも1枚は表が出る」の余事象は「すべて裏が出る」である。

1枚の硬貨で裏が出る確率は $\frac{1}{2}$ である。

6枚すべてで裏が出る確率は $(\frac{1}{2})^6 = \frac{1}{64}$ である。

したがって、少なくとも1枚は表が出る確率は $1 - \frac{1}{64} = \frac{63}{64}$ である。

(4) 少なくとも男女1名ずつ選ばれる確率を求める問題。余事象を考える。「少なくとも男女1名ずつ選ばれる」の余事象は「全員が男子である」または「全員が女子である」である。

3人の代表を選ぶ総数は ${9 \choose 3} = \frac{9 \times 8 \times 7}{3 \times 2 \times 1} = 84$ 通りである。

全員が男子である選び方は ${5 \choose 3} = \frac{5 \times 4 \times 3}{3 \times 2 \times 1} = 10$ 通りである。

全員が女子である選び方は ${4 \choose 3} = \frac{4 \times 3 \times 2}{3 \times 2 \times 1} = 4$ 通りである。

したがって、少なくとも男女1名ずつ選ばれる確率は $1 - \frac{10+4}{84} = 1 - \frac{14}{84} = 1 - \frac{1}{6} = \frac{5}{6}$ である。

3. 最終的な答え

(1) $\frac{19}{27}$

(2) $\frac{7}{8}$

(3) $\frac{63}{64}$

(4) $\frac{5}{6}$