確率変数 $X$ が標準正規分布 $N(0,1)$ に従うとき、以下の確率を求めます。 (1) $P(X \ge 1.41)$ (2) $P(X \le -2.71)$ (3) $P(X \le 1.38)$ (4) $P(X \ge -1.25)$

1. 問題の内容

確率変数 $X$ が標準正規分布 $N(0,1)$ に従うとき、以下の確率を求めます。

(1) $P(X \ge 1.41)$

(2) $P(X \le -2.71)$

(3) $P(X \le 1.38)$

(4) $P(X \ge -1.25)$

2. 解き方の手順

標準正規分布表を用いて確率を求めます。標準正規分布表は、累積分布関数 $\Phi(z) = P(Z \le z)$ の値を掲載しています。ここで、$Z$ は標準正規分布に従う確率変数です。

(1) $P(X \ge 1.41) = 1 - P(X < 1.41) = 1 - P(X \le 1.41) = 1 - \Phi(1.41)$

標準正規分布表より、$\Phi(1.41) = 0.9207$ なので、

$P(X \ge 1.41) = 1 - 0.9207 = 0.0793$

(2) $P(X \le -2.71) = \Phi(-2.71)$

標準正規分布表は正の値しか載っていないことが多いので、$P(X \le -z) = P(X \ge z) = 1 - P(X < z) = 1 - P(X \le z) = 1 - \Phi(z)$ を利用します。

$P(X \le -2.71) = 1 - \Phi(2.71)$

標準正規分布表より、$\Phi(2.71) = 0.9966$ なので、

$P(X \le -2.71) = 1 - 0.9966 = 0.0034$

(3) $P(X \le 1.38) = \Phi(1.38)$

標準正規分布表より、$\Phi(1.38) = 0.9162$ なので、

$P(X \le 1.38) = 0.9162$

(4) $P(X \ge -1.25) = 1 - P(X < -1.25) = 1 - P(X \le -1.25) = 1 - \Phi(-1.25)$

$\Phi(-1.25) = 1 - \Phi(1.25)$

標準正規分布表より、$\Phi(1.25) = 0.8944$ なので、

$\Phi(-1.25) = 1 - 0.8944 = 0.1056$

$P(X \ge -1.25) = 1 - 0.1056 = 0.8944$

3. 最終的な答え

(1) $P(X \ge 1.41) = 0.0793$

(2) $P(X \le -2.71) = 0.0034$

(3) $P(X \le 1.38) = 0.9162$

(4) $P(X \ge -1.25) = 0.8944$