箱の中に赤玉7個、青玉3個が入っている。A,Bの2人が順番に箱から玉を1個ずつ取り出す。取り出した玉は戻さず、相手が取り出した玉の色はわからないものとする。 (1) Bが赤玉を取り出す確率を求める。 (2) Bが赤玉を取り出したとき、Aも赤玉を取り出している条件付き確率を求める。

1. 問題の内容

箱の中に赤玉7個、青玉3個が入っている。A,Bの2人が順番に箱から玉を1個ずつ取り出す。取り出した玉は戻さず、相手が取り出した玉の色はわからないものとする。

(1) Bが赤玉を取り出す確率を求める。

(2) Bが赤玉を取り出したとき、Aも赤玉を取り出している条件付き確率を求める。

2. 解き方の手順

(1) Bが赤玉を取り出す確率

Aが赤玉を取り出す場合と、Aが青玉を取り出す場合を考える。

* Aが赤玉を取り出す場合:

Aが赤玉を取り出す確率は $\frac{7}{10}$ である。このとき、残りの玉は赤玉6個、青玉3個なので、Bが赤玉を取り出す確率は $\frac{6}{9} = \frac{2}{3}$ である。したがって、この場合の確率は $\frac{7}{10} \times \frac{2}{3} = \frac{14}{30}$

* Aが青玉を取り出す場合:

Aが青玉を取り出す確率は $\frac{3}{10}$ である。このとき、残りの玉は赤玉7個、青玉2個なので、Bが赤玉を取り出す確率は $\frac{7}{9}$ である。したがって、この場合の確率は $\frac{3}{10} \times \frac{7}{9} = \frac{21}{90} = \frac{7}{30}$

Bが赤玉を取り出す確率は、上記の2つの場合を足し合わせる。

$\frac{14}{30} + \frac{7}{30} = \frac{21}{30} = \frac{7}{10}$

(2) Bが赤玉を取り出したとき、Aも赤玉を取り出している条件付き確率

これは、Bが赤玉を取り出したという条件の下で、Aも赤玉を取り出した確率を求める問題である。

条件付き確率は、以下のように計算する。

$P(Aが赤玉 | Bが赤玉) = \frac{P(Aが赤玉 かつ Bが赤玉)}{P(Bが赤玉)}$

$P(Aが赤玉 かつ Bが赤玉)$ は、Aが赤玉を取り出し、その後Bが赤玉を取り出す確率で、(1)で計算したように $\frac{7}{10} \times \frac{6}{9} = \frac{14}{30}$ である。

$P(Bが赤玉)$ は、(1)で計算したように $\frac{7}{10}$ である。

したがって、

$P(Aが赤玉 | Bが赤玉) = \frac{\frac{14}{30}}{\frac{7}{10}} = \frac{14}{30} \times \frac{10}{7} = \frac{140}{210} = \frac{2}{3}$

3. 最終的な答え

(1) $\frac{7}{10}$

(2) $\frac{2}{3}$