問題は2つあります。 (3) 1個のサイコロを3回投げるとき、1の目がちょうど2回出る確率を求めます。 (4) 3枚の硬貨を同時に投げるとき、表が3枚で10点、表が2枚で6点、それ以外は0点です。このゲームの得点の期待値を求めます。確率の表の空欄を埋め、期待値を計算します。

1. 問題の内容

問題は2つあります。

(3) 1個のサイコロを3回投げるとき、1の目がちょうど2回出る確率を求めます。

(4) 3枚の硬貨を同時に投げるとき、表が3枚で10点、表が2枚で6点、それ以外は0点です。このゲームの得点の期待値を求めます。確率の表の空欄を埋め、期待値を計算します。

2. 解き方の手順

(3)

サイコロを3回投げる試行で、1の目がちょうど2回出る確率を計算します。

1の目が出る確率は $\frac{1}{6}$、1の目が出ない確率は $\frac{5}{6}$ です。

3回のうち2回1の目が出て、残りの1回は1以外の目が出る確率は、二項定理より以下のように計算できます。

$P = {}_3C_2 (\frac{1}{6})^2 (\frac{5}{6})^1 = 3 \times \frac{1}{36} \times \frac{5}{6} = \frac{15}{216} = \frac{5}{72}$

(4)

3枚の硬貨を投げる試行について考えます。

3枚とも表が出る確率は$(\frac{1}{2})^3 = \frac{1}{8}$なので、10点を得る確率は$\frac{1}{8}$です。

2枚が表で1枚が裏となる確率は${}_3C_2 (\frac{1}{2})^2 (\frac{1}{2})^1 = 3 \times \frac{1}{4} \times \frac{1}{2} = \frac{3}{8}$なので、6点を得る確率は$\frac{3}{8}$です。

表が1枚以下である確率は、1枚の場合と0枚の場合を足し合わせて、${}_3C_1 (\frac{1}{2})^1 (\frac{1}{2})^2 + {}_3C_0 (\frac{1}{2})^0 (\frac{1}{2})^3 = 3 \times \frac{1}{2} \times \frac{1}{4} + 1 \times 1 \times \frac{1}{8} = \frac{3}{8} + \frac{1}{8} = \frac{4}{8} = \frac{1}{2}$なので、0点を得る確率は$\frac{1}{2}$です。

期待値は、各得点とその確率の積の和で計算されます。

$E = 10 \times \frac{1}{8} + 6 \times \frac{3}{8} + 0 \times \frac{1}{2} = \frac{10}{8} + \frac{18}{8} + 0 = \frac{28}{8} = \frac{7}{2} = 3.5$

3. 最終的な答え

(3) 1の目がちょうど2回出る確率は $\frac{5}{72}$

テ: 5

トナ: 72

(4)

10点の確率: $\frac{1}{8}$

6点の確率: $\frac{3}{8}$

0点の確率: $\frac{4}{8} = \frac{1}{2}$

期待値: 3.5点

ニ: 1

ネ: 3

ノ: 4

ハ: 3

ヒ: 5