問題は3つあります。 (1) 男子5人、女子3人の中から4人を選ぶ選び方の総数と、男女2名ずつ選ぶ選び方の数を求める問題。 (2) 4本の平行線と5本の平行線が交わっている図形の中に、平行四辺形が何個あるかを求める問題。 (3) 正七角形ABCDEFGについて、3個の頂点を結んでできる三角形の個数と、対角線の本数を求める問題。

1. 問題の内容

問題は3つあります。

(1) 男子5人、女子3人の中から4人を選ぶ選び方の総数と、男女2名ずつ選ぶ選び方の数を求める問題。

(2) 4本の平行線と5本の平行線が交わっている図形の中に、平行四辺形が何個あるかを求める問題。

(3) 正七角形ABCDEFGについて、3個の頂点を結んでできる三角形の個数と、対角線の本数を求める問題。

2. 解き方の手順

(1)

* 4人を選ぶ選び方の総数：

8人から4人を選ぶ組み合わせなので、$_8C_4$ を計算します。

$_8C_4 = \frac{8!}{4!(8-4)!} = \frac{8!}{4!4!} = \frac{8 \times 7 \times 6 \times 5}{4 \times 3 \times 2 \times 1} = 70$ 通り

* 男女2名ずつ選ぶ選び方：

男子5人から2人を選ぶ組み合わせは $_5C_2 = \frac{5!}{2!3!} = \frac{5 \times 4}{2 \times 1} = 10$ 通り。

女子3人から2人を選ぶ組み合わせは $_3C_2 = \frac{3!}{2!1!} = \frac{3 \times 2}{2 \times 1} = 3$ 通り。

したがって、男女2名ずつ選ぶ選び方は、$10 \times 3 = 30$ 通り。

(2)

平行四辺形は、2本の平行な横線と2本の平行な縦線を選ぶことで一意に決まります。

横線は4本あるので、2本を選ぶ組み合わせは $_4C_2 = \frac{4!}{2!2!} = \frac{4 \times 3}{2 \times 1} = 6$ 通り。

縦線は5本あるので、2本を選ぶ組み合わせは $_5C_2 = \frac{5!}{2!3!} = \frac{5 \times 4}{2 \times 1} = 10$ 通り。

したがって、平行四辺形の総数は、$6 \times 10 = 60$ 個。

(3)

* 3個の頂点を結んでできる三角形の個数：

7個の頂点から3個を選ぶ組み合わせなので、$_7C_3$ を計算します。

$_7C_3 = \frac{7!}{3!(7-3)!} = \frac{7!}{3!4!} = \frac{7 \times 6 \times 5}{3 \times 2 \times 1} = 35$ 個。

* 対角線の本数：

7個の頂点から2個を選んで線分を作る組み合わせは $_7C_2 = \frac{7!}{2!5!} = \frac{7 \times 6}{2 \times 1} = 21$ 本。

このうち、正七角形の辺は7本なので、対角線の本数は $21 - 7 = 14$ 本。

3. 最終的な答え

(1)

* 男女の区別なく選ぶ場合：70通り

* 男女2名ずつ選ぶ場合：30通り

(2)

* 平行四辺形の個数：60個

(3)

* 三角形の個数：35個

* 対角線の本数：14本