赤玉3個、白玉4個の合計7個の玉が入っている袋から、同時に2個の玉を取り出すとき、次の確率を求めます。 (1) 2個とも白玉である確率 (2) 2個とも同じ色である確率 (3) 少なくとも1個は赤玉である確率

確率論・統計学確率組み合わせ余事象
2025/7/26

1. 問題の内容

赤玉3個、白玉4個の合計7個の玉が入っている袋から、同時に2個の玉を取り出すとき、次の確率を求めます。
(1) 2個とも白玉である確率
(2) 2個とも同じ色である確率
(3) 少なくとも1個は赤玉である確率

2. 解き方の手順

まず、7個の玉から2個を取り出す場合の総数を計算します。これは組み合わせで求められ、7C2=7×62×1=21 {}_7 C_2 = \frac{7 \times 6}{2 \times 1} = 21 通りです。
(1) 2個とも白玉である確率
白玉4個から2個を取り出す場合の数は、4C2=4×32×1=6 {}_4 C_2 = \frac{4 \times 3}{2 \times 1} = 6 通りです。
したがって、2個とも白玉である確率は、621=27 \frac{6}{21} = \frac{2}{7} です。
(2) 2個とも同じ色である確率
2個とも赤玉である場合の数は、3C2=3×22×1=3 {}_3 C_2 = \frac{3 \times 2}{2 \times 1} = 3 通りです。
2個とも白玉である場合の数は、(1)で計算した通り6通りです。
したがって、2個とも同じ色である場合の数は、3+6=9 3 + 6 = 9 通りです。
したがって、2個とも同じ色である確率は、921=37 \frac{9}{21} = \frac{3}{7} です。
(3) 少なくとも1個は赤玉である確率
「少なくとも1個は赤玉」である確率は、「2個とも白玉」である確率の余事象です。
つまり、1 1 - (2個とも白玉である確率) で計算できます。
127=57 1 - \frac{2}{7} = \frac{5}{7}
または、直接計算することもできます。
(i) 赤玉1個、白玉1個の場合の数は、3C1×4C1=3×4=12 {}_3 C_1 \times {}_4 C_1 = 3 \times 4 = 12 通りです。
(ii) 赤玉2個の場合の数は、3C2=3 {}_3 C_2 = 3 通りです。
したがって、少なくとも1個は赤玉である場合の数は、12+3=15 12 + 3 = 15 通りです。
したがって、少なくとも1個は赤玉である確率は、1521=57 \frac{15}{21} = \frac{5}{7} です。

3. 最終的な答え

(1) 2個とも白玉である確率: 27\frac{2}{7}
(2) 2個とも同じ色である確率: 37\frac{3}{7}
(3) 少なくとも1個は赤玉である確率: 57\frac{5}{7}

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