$a$ を $0$ でない実数の定数として、2つの関数 $f(x) = ax^2 + 2ax - a + 6$ と $g(x) = x - 2a + 9$ が与えられている。 (1) $a=1$ のとき、$-3 \le x \le 0$ における $f(x)$ の最小値と最大値を求める。 (2) $-3 \le x \le 0$ のとき、$f(x)$ の最小値が $4$, 最大値が $8$ となるような $a$ の個数を求める。 (3) 全ての実数 $x$ に対して $f(x) > 0$ となるような $a$ の範囲を求める。また、少なくとも1つの実数 $x$ に対して $f(x) > g(x)$ となるような $a$ の範囲を求める。 (4) 関数 $h(x) = f(x) + 2a \cdot g(x)$ を定義する。$y = f(x)$ のグラフを $x$ 軸方向に $-1$, $y$ 軸方向に $-4$ だけ平行移動したグラフの方程式が $y = h(x)$ と一致するような $a$ の値を全て求める。

## 解答

1. 問題の内容

$a$ を $0$ でない実数の定数として、2つの関数 $f(x) = ax^2 + 2ax - a + 6$ と $g(x) = x - 2a + 9$ が与えられている。

(1) $a=1$ のとき、$-3 \le x \le 0$ における $f(x)$ の最小値と最大値を求める。

(2) $-3 \le x \le 0$ のとき、$f(x)$ の最小値が $4$, 最大値が $8$ となるような $a$ の個数を求める。

(3) 全ての実数 $x$ に対して $f(x) > 0$ となるような $a$ の範囲を求める。また、少なくとも1つの実数 $x$ に対して $f(x) > g(x)$ となるような $a$ の範囲を求める。

(4) 関数 $h(x) = f(x) + 2a \cdot g(x)$ を定義する。$y = f(x)$ のグラフを $x$ 軸方向に $-1$, $y$ 軸方向に $-4$ だけ平行移動したグラフの方程式が $y = h(x)$ と一致するような $a$ の値を全て求める。

2. 解き方の手順

(1) $a=1$ のとき、$f(x) = x^2 + 2x - 1 + 6 = x^2 + 2x + 5 = (x+1)^2 + 4$ となる。

$-3 \le x \le 0$ における $f(x)$ の最小値は $x = -1$ のとき $f(-1) = 4$。

最大値は $x = -3$ のとき $f(-3) = (-3+1)^2 + 4 = 4 + 4 = 8$。

したがって、最小値は4、最大値は8。

(2) $f(x) = a(x+1)^2 -2a + 6$。

$a > 0$ のとき、$x=-1$ で最小値 $-2a+6$ をとる。 $-3 \le x \le 0$ で考えるので、$-3 \le -1 \le 0$ を満たすので、$x=-1$で最小値をとる。

$f(-1) = -2a+6 = 4$ より、 $2a = 2$ なので $a = 1$。

$f(-3) = a(-3+1)^2 -2a + 6 = 4a-2a+6 = 2a+6 = 2+6 = 8$

$f(0) = a(0+1)^2 -2a + 6 = a -2a + 6 = -a+6 = -1+6 = 5$

$a<0$ のとき、$x=-1$ で最大値 $-2a+6$ をとる。

$f(-3) = 4a-2a+6 = 2a+6$ で $a < 0$ なので、$2a+6 < 6$。

$f(0) = -a+6$ で、$a < 0$ なので $-a+6 > 6$。

$f(-3)$ または $f(0)$ が最大値 $8$ をとる。

もし $f(-3) = 8$ ならば、$2a+6 = 8$ より $2a = 2$ なので $a=1$ となり、$a<0$ に矛盾。

もし $f(0) = 8$ ならば、$-a+6=8$ より $-a = 2$ なので $a = -2$。

このとき最小値は $f(-1) = -2a+6 = -2(-2)+6 = 4+6 = 10$ なので、最小値が4であるという条件に矛盾する。

よって $a=1$ のみである。

したがって、$a$ の個数は1。

(3) $f(x) > 0$ となるためには、判別式 $D = (2a)^2 - 4a(-a+6) = 4a^2 + 4a^2 - 24a = 8a^2 - 24a < 0$ が必要十分条件。

$8a(a-3) < 0$ より、$0 < a < 3$。

$f(x) > g(x)$ より、$ax^2 + 2ax - a + 6 > x - 2a + 9$。

$ax^2 + (2a-1)x + a - 3 > 0$。

これが少なくとも1つの実数 $x$ で成り立てば良い。

$a>0$ ならば、$x$ を十分大きくすれば、$ax^2$ の項が支配的になるので、常に成り立つ。

$a<0$ ならば、上に凸の放物線になるので、常に成り立つことはない。したがって、$a>0$。

$f(x) > g(x)$ となる条件を求める。

$f(x) - g(x) = ax^2 + (2a-1)x + (a-3)$

$h(x) = ax^2 + (2a-1)x + (a-3) > 0$

少なくとも一つの実数 $x$ に対して、$h(x) > 0$ となれば良い。

判別式 $D = (2a-1)^2 - 4a(a-3) = 4a^2 - 4a + 1 - 4a^2 + 12a = 8a + 1 > 0$ より、$a > -\frac{1}{8}$。

$a>0$ より、$a>0$。

(4) $y = f(x)$ のグラフを $x$ 軸方向に $-1$, $y$ 軸方向に $-4$ だけ平行移動したグラフの方程式は、

$y+4 = f(x+1) = a(x+1)^2 + 2a(x+1) - a + 6 = a(x^2 + 2x + 1) + 2ax + 2a - a + 6 = ax^2 + 2ax + a + 2ax + a + 6 = ax^2 + 4ax + 2a + 6$。

$y = ax^2 + 4ax + 2a + 2$。

$h(x) = f(x) + 2a \cdot g(x) = ax^2 + 2ax - a + 6 + 2a(x - 2a + 9) = ax^2 + 2ax - a + 6 + 2ax - 4a^2 + 18a = ax^2 + 4ax + 17a - 4a^2 + 6$。

$ax^2 + 4ax + 2a + 2 = ax^2 + 4ax + 17a - 4a^2 + 6$

$2a + 2 = 17a - 4a^2 + 6$

$4a^2 - 15a - 4 = 0$

$(4a + 1)(a - 4) = 0$

$a = -\frac{1}{4}, 4$。

3. 最終的な答え

7: エ (4)

8: ア (8)

9: ア (1)

10: イ (0 < a < 3)

11: イ (0 < a < 3)

12: イ (2)