(1) ある放物線を $x$ 軸方向に $-1$, $y$ 軸方向に $-3$ だけ平行移動し、さらに $x$ 軸に関して対称移動したところ、放物線 $y = x^2 - 2x + 2$ になった。もとの放物線の方程式を求めよ。 (2) $a < 0$ とする。関数 $y = ax^2 - 4ax + b$ ($1 \le x \le 5$) の最大値が $7$ で、最小値が $-2$ であるように、定数 $a$, $b$ の値を定めよ。 (3) 2次関数 $y = -2x^2 + 8x + 1$ ($0 \le x \le a$) が、$x = a$ で最大値をとるとき、定数 $a$ の値の範囲を求めよ。

1. 問題の内容

(1) ある放物線を $x$ 軸方向に $-1$, $y$ 軸方向に $-3$ だけ平行移動し、さらに $x$ 軸に関して対称移動したところ、放物線 $y = x^2 - 2x + 2$ になった。もとの放物線の方程式を求めよ。

(2) $a < 0$ とする。関数 $y = ax^2 - 4ax + b$ ($1 \le x \le 5$) の最大値が $7$ で、最小値が $-2$ であるように、定数 $a$, $b$ の値を定めよ。

(3) 2次関数 $y = -2x^2 + 8x + 1$ ($0 \le x \le a$) が、$x = a$ で最大値をとるとき、定数 $a$ の値の範囲を求めよ。

2. 解き方の手順

(1)

1. $x$軸に関して対称移動する前の放物線を求める。$x$軸に関して対称移動すると、$y$ が $-y$ に変わるので、移動前の放物線は $-y = x^2 - 2x + 2$ つまり、$y = -x^2 + 2x - 2$ である。

2. 平行移動する前の放物線を求める。$x$軸方向に $-1$, $y$軸方向に $-3$ 平行移動する前の放物線は、$x$ を $x+1$, $y$ を $y+3$ に置き換えることで得られる。したがって、$y+3 = -(x+1)^2 + 2(x+1) - 2$ を整理する。

$y = -(x^2 + 2x + 1) + 2x + 2 - 2 - 3 = -x^2 - 2x - 1 + 2x - 3 = -x^2 - 4$

(2)

1. $y = ax^2 - 4ax + b$ を平方完成する。

$y = a(x^2 - 4x) + b = a(x^2 - 4x + 4 - 4) + b = a(x-2)^2 - 4a + b$

2. $a < 0$ より、放物線は上に凸である。よって、軸 $x=2$ で最大値をとり、定義域の両端のどちらかで最小値をとる。

3. 最大値は $7$ なので、$-4a + b = 7$

4. 定義域は $1 \le x \le 5$ であり、軸 $x=2$ から最も遠い点は $x=5$ である。したがって、$x=5$ で最小値 $-2$ をとる。$y = a(5-2)^2 - 4a + b = 9a - 4a + b = 5a + b = -2$

5. 連立方程式を解く。

$-4a + b = 7$

$5a + b = -2$

2式を引き算すると、$-9a = 9$ より $a = -1$

$-4(-1) + b = 7$ より $4 + b = 7$ なので $b = 3$

(3)

1. $y = -2x^2 + 8x + 1$ を平方完成する。

$y = -2(x^2 - 4x) + 1 = -2(x^2 - 4x + 4 - 4) + 1 = -2(x-2)^2 + 8 + 1 = -2(x-2)^2 + 9$

2. 軸は $x = 2$

3. 放物線は上に凸なので、$x = a$ で最大値をとるには、$a$ が軸より大きいか等しい必要がある。つまり、$a \ge 2$

4. また、定義域の左端が $x=0$ なので、$0 \le x \le a$ の範囲において、$x=a$ で最大値をとるためには、$a$ は軸より右側になければならない。よって、$a \ge 2$.

$y=-2x^2+8x+1$ は軸$x=2$に関して対称なので、$a>2$の場合、$0 \leq x \leq a$ において、$x=a$ で最大値を取るためには、$a \leq 4$が必要。

5. したがって、$2 \le a \le 4$

3. 最終的な答え

(1) $y = -x^2 - 4$

(2) $a = -1$, $b = 3$

(3) $2 \le a \le 4$

軸は $x = 2$

0≤x≤aにおいて、x=aで最大値をとるのは、右図より放物線の軸がx=2であり、x=aが軸より右にある場合。

x=aで最大値をとる場合の図は、上に凸のグラフで軸がx=2で、定義域の右端x=aで最大値をとるグラフを描く。