横が縦より5cm長い長方形の厚紙がある。この4つの隅から一辺が2cmの正方形を切り取り、直方体の容器を作ると、その容積は1092 $cm^3$になる。はじめの厚紙の縦と横の長さを求めなさい。

1. 問題の内容

横が縦より5cm長い長方形の厚紙がある。この4つの隅から一辺が2cmの正方形を切り取り、直方体の容器を作ると、その容積は1092 $cm^3$になる。はじめの厚紙の縦と横の長さを求めなさい。

2. 解き方の手順

はじめの厚紙の縦の長さを $x$ cmとすると、横の長さは $(x+5)$ cmとなる。

4つの隅から1辺が2cmの正方形を切り取って直方体の容器を作ったときの縦の長さは $(x-4)$ cm、横の長さは $(x+5-4) = (x+1)$ cm、高さは2cmとなる。

したがって、この直方体の容積は、

$2(x-4)(x+1)$ $cm^3$と表せる。

問題文より、この容積が1092 $cm^3$であるから、

$2(x-4)(x+1) = 1092$

$(x-4)(x+1) = 546$

$x^2 - 3x - 4 = 546$

$x^2 - 3x - 550 = 0$

この2次方程式を解く。

$(x - 25)(x + 22) = 0$

$x = 25, -22$

$x$は長さを表すので、$x > 0$でなければならないから、$x = 25$

よって、縦の長さは25cm、横の長さは$25 + 5 = 30$ cm。

3. 最終的な答え

縦の長さ 25 cm

横の長さ 30 cm