質量 $m$ の質点の位置ベクトルを $\vec{r}$、速度ベクトルを $\vec{v}$ とする。また、質点には力 $\vec{F}$ が働いている。以下の問いに答えよ。 (1) この質点の運動方程式を $m$、$\vec{v}$、$\vec{F}$ を用いて表せ。 (2) 角運動量ベクトル $\vec{L} = m\vec{r} \times \vec{v}$ を定義すると、$\frac{d\vec{L}}{dt} = \vec{N}$ が成立することを示せ。ここで、$\vec{N} = \vec{r} \times \vec{F}$ は力のモーメントである。 (3) 力ベクトルが $\vec{F} = f(r)\vec{r}$ と表されるとき、$\vec{N} = 0$ であることを示せ。ここで、$r = |\vec{r}|$ で、$f(r)$ は $r$ の任意の関数である。 (4) (3) のとき、質点の位置ベクトル $\vec{r}$ と速度ベクトル $\vec{v}$ は、ベクトル $\vec{L}$ を法線にもつ平面内のみに存在することを示せ。 (5) (4) のとき、$\vec{L}$ を $z$ 軸に平行にすると、質点は $xy$ 平面上で運動する。質点の位置が $x = r\cos{\varphi}$、 $y = r\sin{\varphi}$ で与えられるとすると、$L = |\vec{L}| = mr^2\dot{\varphi}$ で与えられることを示せ。

1. 問題の内容

質量 $m$ の質点の位置ベクトルを $\vec{r}$、速度ベクトルを $\vec{v}$ とする。また、質点には力 $\vec{F}$ が働いている。以下の問いに答えよ。

(1) この質点の運動方程式を $m$、$\vec{v}$、$\vec{F}$ を用いて表せ。

(2) 角運動量ベクトル $\vec{L} = m\vec{r} \times \vec{v}$ を定義すると、$\frac{d\vec{L}}{dt} = \vec{N}$ が成立することを示せ。ここで、$\vec{N} = \vec{r} \times \vec{F}$ は力のモーメントである。

(3) 力ベクトルが $\vec{F} = f(r)\vec{r}$ と表されるとき、$\vec{N} = 0$ であることを示せ。ここで、$r = |\vec{r}|$ で、$f(r)$ は $r$ の任意の関数である。

(4) (3) のとき、質点の位置ベクトル $\vec{r}$ と速度ベクトル $\vec{v}$ は、ベクトル $\vec{L}$ を法線にもつ平面内のみに存在することを示せ。

(5) (4) のとき、$\vec{L}$ を $z$ 軸に平行にすると、質点は $xy$ 平面上で運動する。質点の位置が $x = r\cos{\varphi}$、 $y = r\sin{\varphi}$ で与えられるとすると、$L = |\vec{L}| = mr^2\dot{\varphi}$ で与えられることを示せ。

2. 解き方の手順

(1) 運動方程式はニュートンの第二法則より、$F=ma$ であり、$a = \frac{dv}{dt}$であるため、

$m\frac{d\vec{v}}{dt} = \vec{F}$

(2) $\vec{L} = m\vec{r} \times \vec{v}$ を時間 $t$ で微分すると、

$\frac{d\vec{L}}{dt} = m \frac{d}{dt} (\vec{r} \times \vec{v}) = m (\frac{d\vec{r}}{dt} \times \vec{v} + \vec{r} \times \frac{d\vec{v}}{dt})$

ここで、$\frac{d\vec{r}}{dt} = \vec{v}$ であるから、

$\frac{d\vec{L}}{dt} = m (\vec{v} \times \vec{v} + \vec{r} \times \frac{d\vec{v}}{dt})$

$\vec{v} \times \vec{v} = 0$ であるから、

$\frac{d\vec{L}}{dt} = m (\vec{r} \times \frac{d\vec{v}}{dt})$

(1) の結果 $m\frac{d\vec{v}}{dt} = \vec{F}$ を用いると、

$\frac{d\vec{L}}{dt} = \vec{r} \times \vec{F} = \vec{N}$

(3) $\vec{N} = \vec{r} \times \vec{F}$ であり、$\vec{F} = f(r)\vec{r}$ であるから、

$\vec{N} = \vec{r} \times (f(r)\vec{r}) = f(r) (\vec{r} \times \vec{r})$

$\vec{r} \times \vec{r} = 0$ であるから、

$\vec{N} = 0$

(4) (3) より $\vec{N} = 0$ であるから、$\frac{d\vec{L}}{dt} = 0$ となり、角運動量 $\vec{L}$ は時間的に変化しない（保存する）。

$\vec{L} = m\vec{r} \times \vec{v}$ は、$\vec{r}$ と $\vec{v}$ の外積に比例する。外積は、それぞれのベクトルに垂直なベクトルになる。つまり、$\vec{L}$ は $\vec{r}$ と $\vec{v}$ の両方に垂直である。

$\vec{L}$ が保存することから、$\vec{r}$ と $\vec{v}$ は $\vec{L}$ に垂直な平面内になければならない。なぜなら、もし $\vec{r}$ または $\vec{v}$ が $\vec{L}$ に垂直な平面から外れると、$\vec{L}$ の方向が変わってしまうからである。したがって、$\vec{r}$ と $\vec{v}$ は $\vec{L}$ を法線とする平面内のみに存在する。

(5) $\vec{L}$ が $z$ 軸に平行な場合、$\vec{r}$ と $\vec{v}$ は $xy$ 平面上に存在する。質点の位置は $x = r\cos{\varphi}$、$y = r\sin{\varphi}$ で与えられるので、極座標 $(r, \varphi)$ で表すことができる。$\vec{v} = \frac{d\vec{r}}{dt}$ であるから、

$\vec{v} = \frac{d}{dt} (r\cos{\varphi} \hat{i} + r\sin{\varphi} \hat{j}) = \frac{dr}{dt} (\cos{\varphi} \hat{i} + \sin{\varphi} \hat{j}) + r\frac{d\varphi}{dt} (-\sin{\varphi} \hat{i} + \cos{\varphi} \hat{j})$

$\vec{r} = r\cos{\varphi} \hat{i} + r\sin{\varphi} \hat{j}$

$\vec{v} = \dot{r}\cos{\varphi} \hat{i} + \dot{r}\sin{\varphi} \hat{j} - r\dot{\varphi}\sin{\varphi} \hat{i} + r\dot{\varphi}\cos{\varphi} \hat{j}$

したがって、$\vec{L} = m\vec{r} \times \vec{v}$ を計算すると、

$\vec{L} = m[(r\cos{\varphi})(\dot{r}\sin{\varphi} + r\dot{\varphi}\cos{\varphi}) - (r\sin{\varphi})(\dot{r}\cos{\varphi} - r\dot{\varphi}\sin{\varphi})] \hat{k}$

$\vec{L} = m[r\dot{r}\cos{\varphi}\sin{\varphi} + r^2\dot{\varphi}\cos^2{\varphi} - r\dot{r}\sin{\varphi}\cos{\varphi} + r^2\dot{\varphi}\sin^2{\varphi}] \hat{k}$

$\vec{L} = m[r^2\dot{\varphi}(\cos^2{\varphi} + \sin^2{\varphi})] \hat{k} = mr^2\dot{\varphi} \hat{k}$

$L = |\vec{L}| = mr^2\dot{\varphi}$

3. 最終的な答え

(1) $m\frac{d\vec{v}}{dt} = \vec{F}$

(2) $\frac{d\vec{L}}{dt} = \vec{N}$

(3) $\vec{N} = 0$

(4) 質点の位置ベクトル $\vec{r}$ と速度ベクトル $\vec{v}$ は、ベクトル $\vec{L}$ を法線にもつ平面内のみに存在する。

(5) $L = |\vec{L}| = mr^2\dot{\varphi}$