与えられたトラス構造において、クレモナ法を用いて部材BCと部材CFの軸力を求める。

1. 問題の内容

与えられたトラス構造において、クレモナ法を用いて部材BCと部材CFの軸力を求める。

2. 解き方の手順

(1) 反力の計算:

まず、支点BとHにおける反力を計算します。

構造全体にかかる鉛直方向の力の釣り合いから、

$R_B + R_H = P$

モーメントの釣り合いから、支点Bを基準とすると、

$R_H * 3l = P * l$

よって、

$R_H = \frac{P}{3}$

$R_B = P - R_H = P - \frac{P}{3} = \frac{2P}{3}$

(2) 節点Bの力の釣り合い:

節点Bには、反力$R_B$、部材BCの軸力$F_{BC}$、部材BDの軸力$F_{BD}$が作用します。

鉛直方向の力の釣り合いから、

$R_B + F_{BC} * sin(45^\circ) = 0$

水平方向の力の釣り合いから、

$F_{BD} + F_{BC} * cos(45^\circ) = 0$

$F_{BC} = -R_B / sin(45^\circ) = -(\frac{2P}{3}) / (\frac{\sqrt{2}}{2}) = -\frac{4P}{3\sqrt{2}} = -\frac{2\sqrt{2}P}{3}$ (圧縮)

$F_{BD} = -F_{BC} * cos(45^\circ) = -(-\frac{2\sqrt{2}P}{3}) * (\frac{\sqrt{2}}{2}) = \frac{2P}{3}$ (引張)

(3) 節点Dの力の釣り合い:

節点Dには、部材BDの軸力$F_{BD}$、部材CDの軸力$F_{CD}$、部材DFの軸力$F_{DF}$、部材CFの軸力$F_{CF}$が作用します。

鉛直方向の力の釣り合いから、

$F_{CD} = 0$

水平方向の力の釣り合いから、

$-F_{BD} + F_{DF} = F_{CF}$

(4) 節点Cの力の釣り合い:

節点Cには、荷重P、部材BCの軸力$F_{BC}$、部材CDの軸力$F_{CD}$、部材CFの軸力$F_{CF}$、部材ACの軸力$F_{AC}$が作用します。

鉛直方向の力の釣り合いから、

$P + F_{BC}* sin(45^\circ) + F_{CF} * sin(45^\circ) = 0$

水平方向の力の釣り合いから、

$-F_{BC}* cos(45^\circ) + F_{CF} * cos(45^\circ) + F_{AC} = 0$

$F_{CD} = 0$ より

$P + F_{BC}* sin(45^\circ) + F_{CF} * sin(45^\circ) = 0$

$P + (-\frac{2\sqrt{2}P}{3}) * (\frac{\sqrt{2}}{2}) + F_{CF} * (\frac{\sqrt{2}}{2}) = 0$

$P - \frac{2P}{3} + F_{CF} * (\frac{\sqrt{2}}{2}) = 0$

$F_{CF} * (\frac{\sqrt{2}}{2}) = -\frac{P}{3}$

$F_{CF} = -\frac{2P}{3\sqrt{2}} = -\frac{\sqrt{2}P}{3}$ (圧縮)

3. 最終的な答え

部材BCの軸力: $-\frac{2\sqrt{2}P}{3}$ (圧縮)

部材CFの軸力: $-\frac{\sqrt{2}P}{3}$ (圧縮)