与えられたトラス構造において、切断法を用いて部材力 $N_{CG}$, $N_{EF}$, $N_{EG}$, $N_{HJ}$, $N_{IJ}$, $N_{IK}$ を求めよ。

1. 問題の内容

与えられたトラス構造において、切断法を用いて部材力 $N_{CG}$, $N_{EF}$, $N_{EG}$, $N_{HJ}$, $N_{IJ}$, $N_{IK}$ を求めよ。

2. 解き方の手順

(1) 反力の計算:

まず、支点AとBにおける反力 $V_A$, $H_A$, $V_B$ を求める。

鉛直方向の力の釣り合いより:

$V_A + V_B = 5 \text{kN} + 5 \text{kN} = 10 \text{kN}$

A点周りのモーメントの釣り合いより:

$V_B \times 3 \times 3000 \text{mm} = 5 \text{kN} \times 1 \times 3000 \text{mm} + 5 \text{kN} \times 2 \times 3000 \text{mm}$

$9000 V_B = 15000$

$V_B = \frac{15000}{9000} = \frac{5}{3} \text{kN} \approx 1.67 \text{kN}$

よって

$V_A = 10 \text{kN} - \frac{5}{3} \text{kN} = \frac{25}{3} \text{kN} \approx 8.33 \text{kN}$

水平方向の力の釣り合いより:

$H_A = 0 \text{kN}$

(2) 部材力 $N_{CG}$, $N_{EF}$, $N_{EG}$ の計算:

部材CG, EF, EGを切断する切断面(1-1)を考える。

切断面より左側の力の釣り合いを考える。

$N_{CG}$, $N_{EF}$, $N_{EG}$ が引張力として作用すると仮定する。

$\angle{ECG} = 60^\circ$ なので、$\sin{60^\circ} = \frac{\sqrt{3}}{2}$、$\cos{60^\circ} = \frac{1}{2}$。

節点E周りのモーメントの釣り合いより:

$V_A \times 3000 \text{mm} = N_{CG} \times 3000 \text{mm} \times \sqrt{3}$

$N_{CG} = \frac{V_A}{\sqrt{3}} = \frac{25}{3 \sqrt{3}} = \frac{25 \sqrt{3}}{9} \text{kN} \approx 4.81 \text{kN}$

鉛直方向の力の釣り合いより:

$V_A + N_{EG} \sin{60^\circ} = 0$

$N_{EG} = -\frac{V_A}{\sin{60^\circ}} = -\frac{25}{3} \times \frac{2}{\sqrt{3}} = -\frac{50 \sqrt{3}}{9} \text{kN} \approx -9.62 \text{kN}$ (圧縮)

水平方向の力の釣り合いより:

$N_{EF} + N_{CG} + N_{EG} \cos{60^\circ} = 0$

$N_{EF} = - N_{CG} - N_{EG} \cos{60^\circ} = -\frac{25 \sqrt{3}}{9} + \frac{50 \sqrt{3}}{9} \times \frac{1}{2} = 0$

(3) 部材力 $N_{HJ}$, $N_{IJ}$, $N_{IK}$ の計算:

部材HJ, IJ, IKを切断する切断面(2-2)を考える。

切断面より左側の力の釣り合いを考える。

$N_{HJ}$, $N_{IJ}$, $N_{IK}$ が引張力として作用すると仮定する。

節点I周りのモーメントの釣り合いより:

$V_A \times 2 \times 3000 \text{mm} = N_{HJ} \times 3000 \text{mm} \times \sqrt{3}$

$N_{HJ} = \frac{2 V_A}{\sqrt{3}} = \frac{50}{3 \sqrt{3}} = \frac{50 \sqrt{3}}{9} \text{kN} \approx 9.62 \text{kN}$

鉛直方向の力の釣り合いより:

$V_A - 5 \text{kN} - N_{IJ} \sin{60^\circ} = 0$

$N_{IJ} = \frac{V_A - 5}{\sin{60^\circ}} = (\frac{25}{3} - 5) \times \frac{2}{\sqrt{3}} = \frac{10}{3} \times \frac{2}{\sqrt{3}} = \frac{20 \sqrt{3}}{9} \text{kN} \approx 3.85 \text{kN}$

水平方向の力の釣り合いより:

$N_{IK} + N_{HJ} + N_{IJ} \cos{60^\circ} = 0$

$N_{IK} = - N_{HJ} - N_{IJ} \cos{60^\circ} = - \frac{50 \sqrt{3}}{9} - \frac{20 \sqrt{3}}{9} \times \frac{1}{2} = - \frac{60 \sqrt{3}}{9} = - \frac{20 \sqrt{3}}{3} \text{kN} \approx -11.55 \text{kN}$ (圧縮)

3. 最終的な答え

$V_A = \frac{25}{3} \text{kN} \approx 8.33 \text{kN}$

$H_A = 0 \text{kN}$

$V_B = \frac{5}{3} \text{kN} \approx 1.67 \text{kN}$

$N_{CG} = \frac{25 \sqrt{3}}{9} \text{kN} \approx 4.81 \text{kN}$

$N_{EF} = 0 \text{kN}$

$N_{EG} = -\frac{50 \sqrt{3}}{9} \text{kN} \approx -9.62 \text{kN}$

$N_{HJ} = \frac{50 \sqrt{3}}{9} \text{kN} \approx 9.62 \text{kN}$

$N_{IJ} = \frac{20 \sqrt{3}}{9} \text{kN} \approx 3.85 \text{kN}$

$N_{IK} = - \frac{20 \sqrt{3}}{3} \text{kN} \approx -11.55 \text{kN}$