$\mu(x) = e^{\int 1 dx} = e^x$

## 微分方程式の解法

以下に、与えられた微分方程式を解きます。

### (1) 問題の内容

次の微分方程式を解きます。

$y' + y = e^{3x}$

### (1) 解き方の手順

これは1階線形微分方程式です。積分因子を求め、両辺にかけます。

1. 積分因子 $\mu(x)$ を計算します。

$\mu(x) = e^{\int 1 dx} = e^x$

2. 微分方程式の両辺に積分因子をかけます。

$e^x y' + e^x y = e^x e^{3x}$

$e^x y' + e^x y = e^{4x}$

3. 左辺を積の微分としてまとめます。

$(e^x y)' = e^{4x}$

4. 両辺を積分します。

$\int (e^x y)' dx = \int e^{4x} dx$

$e^x y = \frac{1}{4} e^{4x} + C$

5. $y$ について解きます。

$y = \frac{1}{4} e^{3x} + Ce^{-x}$

### (1) 最終的な答え

$y = \frac{1}{4} e^{3x} + Ce^{-x}$

---

### (2) 問題の内容

次の微分方程式を解きます。

$xy' - 4y = x^6 e^x$

### (2) 解き方の手順

これは1階線形微分方程式です。

1. 微分方程式を標準形にします。両辺を$x$で割ります。

$y' - \frac{4}{x}y = x^5 e^x$

2. 積分因子 $\mu(x)$ を計算します。

$\mu(x) = e^{\int -\frac{4}{x} dx} = e^{-4\ln|x|} = e^{\ln|x^{-4}|} = x^{-4}$

3. 微分方程式の両辺に積分因子をかけます。

$x^{-4} y' - 4x^{-5}y = x e^x$

4. 左辺を積の微分としてまとめます。

$(x^{-4} y)' = x e^x$

5. 両辺を積分します。

$\int (x^{-4} y)' dx = \int x e^x dx$

$x^{-4} y = \int x e^x dx$

部分積分を用いて $\int x e^x dx$ を計算します。$u = x$, $dv = e^x dx$ とすると、$du = dx$, $v = e^x$ となり、

$\int x e^x dx = x e^x - \int e^x dx = x e^x - e^x + C$

したがって、

$x^{-4} y = x e^x - e^x + C$

6. $y$ について解きます。

$y = x^4 (x e^x - e^x + C)$

$y = x^5 e^x - x^4 e^x + Cx^4$

### (2) 最終的な答え

$y = x^5 e^x - x^4 e^x + Cx^4$

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### (3) 問題の内容

次の微分方程式を解きます。

$y' - \frac{3}{x}y = 4x^6$

### (3) 解き方の手順

これは1階線形微分方程式です。

1. 積分因子 $\mu(x)$ を計算します。

$\mu(x) = e^{\int -\frac{3}{x} dx} = e^{-3\ln|x|} = e^{\ln|x^{-3}|} = x^{-3}$

2. 微分方程式の両辺に積分因子をかけます。

$x^{-3} y' - 3x^{-4}y = 4x^3$

3. 左辺を積の微分としてまとめます。

$(x^{-3} y)' = 4x^3$

4. 両辺を積分します。

$\int (x^{-3} y)' dx = \int 4x^3 dx$

$x^{-3} y = x^4 + C$

5. $y$ について解きます。

$y = x^7 + Cx^3$

### (3) 最終的な答え

$y = x^7 + Cx^3$

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### (4) 問題の内容

次の微分方程式を解きます。

$y' + \frac{y}{x+1} = \frac{1}{x^2 - 1}$

### (4) 解き方の手順

これは1階線形微分方程式です。

1. 積分因子 $\mu(x)$ を計算します。

$\mu(x) = e^{\int \frac{1}{x+1} dx} = e^{\ln|x+1|} = x+1$

2. 微分方程式の両辺に積分因子をかけます。

$(x+1)y' + y = \frac{1}{x-1}$

3. 左辺を積の微分としてまとめます。

$((x+1)y)' = \frac{1}{x-1}$

4. 両辺を積分します。

$\int ((x+1)y)' dx = \int \frac{1}{x-1} dx$

$(x+1)y = \ln|x-1| + C$

5. $y$ について解きます。

$y = \frac{\ln|x-1| + C}{x+1}$

### (4) 最終的な答え

$y = \frac{\ln|x-1| + C}{x+1}$