競争市場において、各企業の総費用 $TC$ 、限界費用 $MC$ 、そして市場全体の需要曲線が与えられています。総費用は $TC = 5 + q + \frac{1}{2}q^2$ 、限界費用は $MC = 1 + q$ 、需要曲線は $P = 10 - Q$ で表されます。ここで、$q$ は個々の企業の生産量、$Q$ は市場全体の生産量、$P$ は価格です。現在、5社の企業が市場に参入している状況で、短期の均衡価格を求める問題です。

1. 問題の内容

競争市場において、各企業の総費用 $TC$ 、限界費用 $MC$ 、そして市場全体の需要曲線が与えられています。総費用は $TC = 5 + q + \frac{1}{2}q^2$ 、限界費用は $MC = 1 + q$ 、需要曲線は $P = 10 - Q$ で表されます。ここで、$q$ は個々の企業の生産量、$Q$ は市場全体の生産量、$P$ は価格です。現在、5社の企業が市場に参入している状況で、短期の均衡価格を求める問題です。

2. 解き方の手順

(1) 各企業は利潤を最大化するように生産量を決定します。競争市場では、各企業は価格 $P$ を所与として行動するので、$P = MC$ となるように生産量 $q$ を決定します。

$P = MC$

$P = 1 + q$

(2) 上記の式から、各企業の供給関数を求めます。

$q = P - 1$

(3) 市場全体の供給関数は、各企業の供給量の合計になります。5社が同じように行動すると仮定すると、市場全体の供給量 $Q$ は

$Q = 5q = 5(P - 1) = 5P - 5$

(4) 均衡条件は、市場全体の需要と供給が一致することです。つまり、

需要： $P = 10 - Q$

供給： $Q = 5P - 5$

この2つの式を連立させて解きます。

(5) 需要関数の式から $Q$ について解くと $Q = 10 - P$ となります。これを供給関数の式に代入すると、

$10 - P = 5P - 5$

$6P = 15$

$P = \frac{15}{6} = \frac{5}{2} = 2.5$

3. 最終的な答え

短期の均衡価格は 2.5 です。