問題18： ベイリーが所有する井戸から湧き出る飲料水の需要曲線が $P = 120 - Q$、限界収入曲線が $MR = 120 - 2Q$、限界費用曲線が $MC = Q$ で与えられています。水の供給に固定費がかからないとき、ベイリーが利潤を最大化する生産量と価格を決定し、そのときの利潤を求めます。 問題19： 問題18の状況で、ベイリーが完全に価格差別を行うことができると仮定します。ただし、価格差別を行うには固定費用2000がかかります。価格差別によって総余剰がどれだけ変化するか、その変化分を求めます。

1. 問題の内容

問題18：

ベイリーが所有する井戸から湧き出る飲料水の需要曲線が $P = 120 - Q$、限界収入曲線が $MR = 120 - 2Q$、限界費用曲線が $MC = Q$ で与えられています。水の供給に固定費がかからないとき、ベイリーが利潤を最大化する生産量と価格を決定し、そのときの利潤を求めます。

問題19：

問題18の状況で、ベイリーが完全に価格差別を行うことができると仮定します。ただし、価格差別を行うには固定費用2000がかかります。価格差別によって総余剰がどれだけ変化するか、その変化分を求めます。

2. 解き方の手順

問題18：

1. 利潤を最大化するためには、限界収入($MR$)と限界費用($MC$)が等しくなるように生産量を決定します。

$MR = MC$ より

$120 - 2Q = Q$

$3Q = 120$

$Q = 40$

2. 最適な生産量$Q=40$を需要曲線に代入して、価格$P$を求めます。

$P = 120 - Q = 120 - 40 = 80$

3. 総収入($TR$)を計算します。

$TR = P \times Q = 80 \times 40 = 3200$

4. 総費用($TC$)を計算します。総費用は限界費用を生産量0からQまで積分することで求められます。

$TC = \int_0^{40} MC \, dQ = \int_0^{40} Q \, dQ = \left[ \frac{1}{2} Q^2 \right]_0^{40} = \frac{1}{2} (40^2) = 800$

5. 利潤($\pi$)を計算します。

$\pi = TR - TC = 3200 - 800 = 2400$

問題19：

1. 完全な価格差別の場合、ベイリーはそれぞれの顧客に対して、その顧客が支払ってもよいと考える最大の価格を請求します。このとき、ベイリーの生産量は、需要曲線と限界費用曲線が交わるところまで増加します。

需要曲線と限界費用曲線を等しくおきます。

$120 - Q = Q$

$2Q = 120$

$Q = 60$

2. 総収入は、需要曲線の下側の面積で与えられます。これは、高さが120、底辺が60の三角形の面積に等しくなります。

$TR = \frac{1}{2} \times 120 \times 60 = 3600$

3. 総費用は、限界費用曲線を生産量0からQまで積分することで求められます。

$TC = \int_0^{60} MC \, dQ = \int_0^{60} Q \, dQ = \left[ \frac{1}{2} Q^2 \right]_0^{60} = \frac{1}{2} (60^2) = 1800$

4. 利潤($\pi$)を計算します。

$\pi = TR - TC - \text{固定費用} = 3600 - 1800 - 2000 = -200$

5. 価格差別がないときの消費者余剰($CS$)は、需要曲線と価格($P=80$)の間の面積で与えられます。需要曲線が$P=120-Q$で与えられ、数量が$Q=40$なので、消費者余剰は、高さが$120-80 = 40$、底辺が$40$の三角形の面積で与えられます。

$CS = \frac{1}{2} \times 40 \times 40 = 800$

6. 価格差別がないときの総余剰($TS$)は、消費者余剰と生産者余剰（利潤）の合計です。

$TS = CS + \pi = 800 + 2400 = 3200$

7. 完全価格差別の場合、消費者余剰はゼロになります。総余剰は、生産者余剰（利潤）に等しくなります。

$TS = \pi = 3600 - 1800 - 2000 = -200$

8. 総余剰の変化は、価格差別後の総余剰から価格差別前の総余剰を引いたものです。

$\Delta TS = TS_{\text{価格差別後}} - TS_{\text{価格差別前}} = -200 - 3200 = -3400$

3. 最終的な答え

問題18：利潤は2400です。

問題19：総余剰の変化は-3400です。