ベイリーは唯一の飲料水の井戸を所有しており、需要曲線 $P = 120 - Q$、限界収入 $MR = 120 - 2Q$、限界費用 $MC = Q$ に直面しています。利潤を最大化するベイリーの利潤を求める問題です。ここで、$P$ は価格、$Q$ は生産量です。固定費はかかりません。

1. 問題の内容

ベイリーは唯一の飲料水の井戸を所有しており、需要曲線 $P = 120 - Q$、限界収入 $MR = 120 - 2Q$、限界費用 $MC = Q$ に直面しています。利潤を最大化するベイリーの利潤を求める問題です。ここで、$P$ は価格、$Q$ は生産量です。固定費はかかりません。

2. 解き方の手順

利潤を最大化するためには、限界収入 (MR) と限界費用 (MC) が等しくなる生産量 $Q$ を見つける必要があります。

* $MR = MC$ を解くことで、利潤を最大化する生産量を求めます。

* 得られた生産量 $Q$ を需要曲線 $P = 120 - Q$ に代入して、価格 $P$ を求めます。

* 総収入 (TR) は価格 $P$ と生産量 $Q$ の積で計算します：$TR = P \times Q$。

* 総費用 (TC) は限界費用 (MC) を生産量 $Q$ まで積分することで計算できます。ここでは $MC = Q$ であり、積分すると $TC = \frac{1}{2}Q^2$ となります。固定費がないため、総費用は変動費のみです。

* 利潤 (π) は総収入 (TR) から総費用 (TC) を引いたものとして計算します：$π = TR - TC$。

3. 最終的な答え

* $MR = MC$ より、$120 - 2Q = Q$

$3Q = 120$

$Q = 40$

* $P = 120 - Q = 120 - 40 = 80$

* $TR = P \times Q = 80 \times 40 = 3200$

* $TC = \frac{1}{2}Q^2 = \frac{1}{2} \times 40^2 = \frac{1}{2} \times 1600 = 800$

* $π = TR - TC = 3200 - 800 = 2400$

したがって、ベイリーが利潤を最大化したときの利潤は 2400 です。

**答え: 2400**