$13.5^n$ の整数部分が4桁であるような整数 $n$ の個数を求める問題です。ただし、$\log_{10} 2 = 0.3010$, $\log_{10} 3 = 0.4771$ とします。

1. 問題の内容

$13.5^n$ の整数部分が4桁であるような整数 $n$ の個数を求める問題です。ただし、$\log_{10} 2 = 0.3010$, $\log_{10} 3 = 0.4771$ とします。

2. 解き方の手順

$13.5^n$ の整数部分が4桁であるということは、$1000 \le 3.5^n < 10000$ が成り立つことを意味します。両辺の常用対数をとると、

$$\log_{10} 1000 \le \log_{10} (3.5^n) < \log_{10} 10000$$

$$3 \le n \log_{10} 3.5 < 4$$

ここで、$3.5 = \frac{7}{2}$ なので、

$$\log_{10} 3.5 = \log_{10} \frac{7}{2} = \log_{10} 7 - \log_{10} 2$$

$7 = \frac{14}{2} = 2 \times 7$ より

$\log_{10} 7 = \log_{10} \frac{14}{2} = \log_{10} (2 \times 7)$ を近似します。

問題文の仮定より$\log_{10} 2 = 0.3010, \log_{10} 3 = 0.4771$なので$\log_{10} 7$ の値は与えられていません。そのため$\log_{10} 3.5 = \log_{10} \frac{7}{2}$を計算するために $\log_{10} 7$ の近似値を探す必要があります。

ただし、$\log_{10} 7$ の近似値を計算しなくても、$\log_{10} 3.5$の計算を工夫することが可能です。

$3.5 = \frac{7}{2} = \frac{10}{2} \times \frac{7}{10} = 5 \times 0.7$

$\log_{10} 3.5 = \log_{10} (35/10) = \log_{10} (5 \times 7/10) = \log_{10} (5 \times 7/10)$

$\log_{10} 3.5 = \log_{10} \frac{7}{2} = \log_{10} 7 - \log_{10} 2$

ここで、$\log_{10} 7$ の近似値を計算せずに、

$3 \le n \log_{10} 3.5 < 4$ を解きます。

$\log_{10} 3.5 = \log_{10} \frac{7}{2} = \log_{10} \frac{70}{20} = \log_{10} \frac{70}{2 \times 10} = \log_{10} 70 - \log_{10} 2 - 1$

与えられた値からlog10(7)の値を求めることは難しいので、別のアプローチを試みます。

$3 \le n \log_{10} (3.5) < 4$

$3 \le n \log_{10} (\frac{7}{2}) < 4$

$3 \le n (\log_{10} 7 - \log_{10} 2) < 4$

$3 \le n (\log_{10} (2 \times 3.5) - \log_{10} 2) < 4$

$\log_{10} 3.5 = \log_{10} \frac{7}{2} = \log_{10} 7 - \log_{10} 2$.

しかし、 $\log_{10} 7$ が与えられていないため、$\log_{10} \frac{7}{2}$ を直接計算することはできません。

$3.5 = \frac{7}{2} = \frac{10.5}{3}$. したがって、

$\log_{10} 3.5 = \log_{10} 10.5 - \log_{10} 3$.

$\log_{10} 10.5 = \log_{10} \frac{21}{2} = \log_{10} 21 - \log_{10} 2 = \log_{10} (3 \times 7) - \log_{10} 2$.

依然として、$\log_{10} 7$ が必要になります。

近似値を使います。

$\log_{10} 3.5 \approx 0.5441$

$3 \le 0.5441 n < 4$

$\frac{3}{0.5441} \le n < \frac{4}{0.5441}$

$5.51 \le n < 7.35$

したがって、 $n = 6, 7$ となります。

$10^3 \le 3.5^n < 10^4$.

$n = 6$ のとき、$3.5^6 = 1838.26 \dots$. したがって、整数部分は4桁。

$n = 7$ のとき、$3.5^7 = 6433.93 \dots$. したがって、整数部分は4桁。

$n = 8$ のとき、$3.5^8 = 22518.7 \dots$. したがって、整数部分は5桁。

したがって、$n$ は $6, 7$ の2つなので、$n$ の個数は2個です。

3. 最終的な答え

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