(1) $18^{40}$ は何桁の自然数か、また最高位の数字は何かを求める。ただし、$\log_{10} 2 = 0.3010$, $\log_{10} 3 = 0.4771$とする。 (2) $(\frac{15}{32})^{15}$ を小数で表すと、小数第何位に初めて0でない数字が現れるか、またその数字は何かを求める。

1. 問題の内容

(1) $18^{40}$ は何桁の自然数か、また最高位の数字は何かを求める。ただし、$\log_{10} 2 = 0.3010$, $\log_{10} 3 = 0.4771$とする。

(2) $(\frac{15}{32})^{15}$ を小数で表すと、小数第何位に初めて0でない数字が現れるか、またその数字は何かを求める。

2. 解き方の手順

(1)

まず、$18^{40}$ の常用対数を計算する。

$\log_{10} 18^{40} = 40 \log_{10} 18 = 40 \log_{10} (2 \cdot 3^2) = 40(\log_{10} 2 + 2 \log_{10} 3)$

$\log_{10} 2 = 0.3010$, $\log_{10} 3 = 0.4771$ を代入すると、

$40(0.3010 + 2 \cdot 0.4771) = 40(0.3010 + 0.9542) = 40(1.2552) = 50.208$

$18^{40}$ の桁数は $\lfloor \log_{10} 18^{40} \rfloor + 1 = \lfloor 50.208 \rfloor + 1 = 50 + 1 = 51$ 桁。

最高位の数字を求めるには、$10^{0.208}$ を計算する。

$\log_{10} 1 = 0$, $\log_{10} 2 = 0.3010$ なので、$10^{0.208}$ は1と2の間にある。

$\log_{10} 1.6 = \log_{10} (\frac{8}{5}) = 3 \log_{10} 2 - (1-\log_{10} 2) = 4 \log_{10} 2 - 1 = 4(0.3010)-1 = 1.204 - 1 = 0.204$

$0.208$ は $0.204$ に近いので、最高位の数字は1である。

(2)

$(\frac{15}{32})^{15}$ の常用対数を計算する。

$\log_{10} (\frac{15}{32})^{15} = 15 \log_{10} (\frac{15}{32}) = 15 (\log_{10} 15 - \log_{10} 32) = 15 (\log_{10} (3 \cdot 5) - \log_{10} 2^5) = 15 (\log_{10} 3 + \log_{10} 5 - 5 \log_{10} 2) = 15 (\log_{10} 3 + \log_{10} \frac{10}{2} - 5 \log_{10} 2) = 15 (\log_{10} 3 + 1 - \log_{10} 2 - 5 \log_{10} 2) = 15 (\log_{10} 3 + 1 - 6 \log_{10} 2) = 15 (0.4771 + 1 - 6(0.3010)) = 15 (1.4771 - 1.806) = 15 (-0.3289) = -4.9335$

よって、小数第$n$位にはじめて0でない数字が現れるとすると、 $-n \le -4.9335 < -n+1$ より $n = 5$

初めて現れる数字は、$10^{-4.9335 + 5} = 10^{0.0665}$

$\log_{10} 1.1 = \log_{10} \frac{11}{10} = \log_{10} 11 - 1$

$\log_{10} 1 = 0$

$\log_{10} 1.1761 = 0.07$ (approximate)

したがって、$10^{0.0665}$ は1に近いので、1

3. 最終的な答え

(1) 51桁で、最高位の数字は1である。

(2) 小数第5位にはじめて0でない数字が現れ、その数字は1である。