$(\frac{1}{30})^{50}$ を小数で表したとき、小数第何位に初めて0でない数字が現れるかを求める問題です。ただし、$\log_{10}3 = 0.4771$ が与えられています。

1. 問題の内容

$(\frac{1}{30})^{50}$ を小数で表したとき、小数第何位に初めて0でない数字が現れるかを求める問題です。ただし、$\log_{10}3 = 0.4771$ が与えられています。

2. 解き方の手順

$(\frac{1}{30})^{50}$ の常用対数を取ります。

$\log_{10} (\frac{1}{30})^{50} = 50 \log_{10} (\frac{1}{30})$

$= 50 (\log_{10} 1 - \log_{10} 30)$

$= 50 (0 - (\log_{10} 3 + \log_{10} 10))$

$= 50 (-(\log_{10} 3 + 1))$

$= 50 (- (0.4771 + 1))$

$= 50 (-1.4771)$

$= -73.855$

この値は、$\log_{10} x = -73.855$ を満たす $x$ が、小数第74位に初めて0でない数字が現れることを意味します。

なぜなら、$x = 10^{-73.855} = 10^{-74+0.145} = 10^{0.145} \times 10^{-74}$ となるからです。

$10^{-74}$ は小数第74位に初めて 1 が現れる数であるため、$10^{0.145} \times 10^{-74}$ は小数第74位に初めて 0 でない数字が現れる数になります。

3. 最終的な答え

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