実質所得 $Y = 1$ を得る消費者の効用関数が $U(c_1, c_2) = c_1^{0.7} c_2^{0.3}$ で与えられているとき、以下の効用最大化問題を解き、現在の消費 $c_1$ がいくらになるかを求める。 $\max_{c_1, c_2, s} U(c_1, c_2)$ 制約条件: $Y = c_1 + s$ $(1+r)s = c_2$ ヒントとして、以下の2本の方程式を解くことが示されている。 限界代替率: $\frac{\partial U / \partial c_1}{\partial U / \partial c_2} = 1 + r$ 予算制約式: $c_2 = (1+r)(Y - c_1)$

1. 問題の内容

実質所得 $Y = 1$ を得る消費者の効用関数が $U(c_1, c_2) = c_1^{0.7} c_2^{0.3}$ で与えられているとき、以下の効用最大化問題を解き、現在の消費 $c_1$ がいくらになるかを求める。

$\max_{c_1, c_2, s} U(c_1, c_2)$

制約条件:

$Y = c_1 + s$

$(1+r)s = c_2$

ヒントとして、以下の2本の方程式を解くことが示されている。

限界代替率: $\frac{\partial U / \partial c_1}{\partial U / \partial c_2} = 1 + r$

予算制約式: $c_2 = (1+r)(Y - c_1)$

2. 解き方の手順

まず、効用関数を偏微分して限界代替率を計算する。

$\frac{\partial U}{\partial c_1} = 0.7 c_1^{-0.3} c_2^{0.3}$

$\frac{\partial U}{\partial c_2} = 0.3 c_1^{0.7} c_2^{-0.7}$

したがって、限界代替率は、

$\frac{\partial U / \partial c_1}{\partial U / \partial c_2} = \frac{0.7 c_1^{-0.3} c_2^{0.3}}{0.3 c_1^{0.7} c_2^{-0.7}} = \frac{0.7 c_2}{0.3 c_1} = \frac{7 c_2}{3 c_1}$

これが相対価格 $1+r$ に等しいので、

$\frac{7 c_2}{3 c_1} = 1 + r$

$c_2 = \frac{3}{7} (1+r) c_1$

次に、予算制約式 $c_2 = (1+r)(Y - c_1)$ に $Y = 1$ を代入して、

$c_2 = (1+r)(1 - c_1)$

この2つの式を連立させて解く。

$\frac{3}{7} (1+r) c_1 = (1+r)(1 - c_1)$

$1+r \neq 0$ なので、両辺を $1+r$ で割ると、

$\frac{3}{7} c_1 = 1 - c_1$

$\frac{10}{7} c_1 = 1$

$c_1 = \frac{7}{10} = 0.7$

3. 最終的な答え

現在の消費 $c_1$ は $0.7$ である。