純溶媒Aに溶質Bを溶解させた溶液を冷却したところ、-23℃でAとBの両方が同時に結晶化した。AとBの分子量はそれぞれ20と60であり、Aの凝固点降下定数 $K_f = 1.9 \, \text{K kg mol}^{-1}$ である。0℃=273Kとする。BはAに溶解した際、1価の陽イオンと陰イオンに分離する。 (1) 質量モル濃度 $b_B$ を求めよ。 (2) 混合物AB（溶液）1kg中のAとBの質量を求めよ。 (3) このとき混合物ABにおけるBのモル分率 $x_B$ の値を求めよ。 (4) 結晶化したAの化学ポテンシャルは、同じ温度で溶媒Aが純物質である場合と比べてどのくらい変化しているか。

1. 問題の内容

純溶媒Aに溶質Bを溶解させた溶液を冷却したところ、-23℃でAとBの両方が同時に結晶化した。AとBの分子量はそれぞれ20と60であり、Aの凝固点降下定数 $K_f = 1.9 \, \text{K kg mol}^{-1}$ である。0℃=273Kとする。BはAに溶解した際、1価の陽イオンと陰イオンに分離する。

(1) 質量モル濃度 $b_B$ を求めよ。

(2) 混合物AB（溶液）1kg中のAとBの質量を求めよ。

(3) このとき混合物ABにおけるBのモル分率 $x_B$ の値を求めよ。

(4) 結晶化したAの化学ポテンシャルは、同じ温度で溶媒Aが純物質である場合と比べてどのくらい変化しているか。

2. 解き方の手順

(1) 凝固点降下度 $\Delta T_f$ は、

$\Delta T_f = K_f \cdot i \cdot b_B$

ここで、$i$ はファントホッフ因子であり、Bは1価の陽イオンと陰イオンに分離するため、$i=2$である。

$\Delta T_f = 0 - (-23) = 23 \, \text{K}$

したがって、

$23 = 1.9 \cdot 2 \cdot b_B$

$b_B = \frac{23}{1.9 \cdot 2} = \frac{23}{3.8} \approx 6.05 \, \text{mol kg}^{-1}$

(2) 溶液1kg中のAの質量を $w_A$、Bの質量を $w_B$ とする。

$w_A + w_B = 1000 \, \text{g}$

Bの質量モル濃度は $b_B = \frac{n_B}{w_A/1000} = 6.05 \, \text{mol kg}^{-1}$ である。ここで、$n_B$はBのモル数である。

$n_B = \frac{w_B}{60}$

したがって、

$\frac{w_B/60}{w_A/1000} = 6.05$

$\frac{w_B}{60} = 6.05 \cdot \frac{w_A}{1000}$

$w_B = \frac{60 \cdot 6.05}{1000} w_A = 0.363 w_A$

$w_A + 0.363 w_A = 1000$

$1.363 w_A = 1000$

$w_A = \frac{1000}{1.363} \approx 733.7 \, \text{g}$

$w_B = 1000 - 733.7 = 266.3 \, \text{g}$

(3) Aのモル数 $n_A = \frac{w_A}{20} = \frac{733.7}{20} \approx 36.69 \, \text{mol}$

Bのモル数 $n_B = \frac{w_B}{60} = \frac{266.3}{60} \approx 4.44 \, \text{mol}$

Bのモル分率 $x_B = \frac{n_B}{n_A + n_B} = \frac{4.44}{36.69 + 4.44} = \frac{4.44}{41.13} \approx 0.108$

(4) 溶液中のAの活量 $a_A = 1 - x_B = 1 - 0.108 = 0.892$

化学ポテンシャルの変化 $\Delta \mu_A = RT \ln a_A$

$T = -23 + 273 = 250 \, \text{K}$

$\Delta \mu_A = 8.314 \cdot 250 \cdot \ln(0.892) = 2078.5 \cdot (-0.1148) \approx -238.6 \, \text{J mol}^{-1}$

3. 最終的な答え

(1) 質量モル濃度 $b_B \approx 6.05 \, \text{mol kg}^{-1}$

(2) Aの質量 $w_A \approx 733.7 \, \text{g}$、Bの質量 $w_B \approx 266.3 \, \text{g}$

(3) Bのモル分率 $x_B \approx 0.108$

(4) 化学ポテンシャルの変化 $\Delta \mu_A \approx -238.6 \, \text{J mol}^{-1}$