(1) $e_2 \times e_1$ と $e_3 \times e_1$ を計算します。 (2) $(e_1 \times e_1) \times e_2 \neq e_1 \times (e_1 \times e_2)$ が成り立つことを確認します。ここで、$e_1 = \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}$、$e_2 = \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix}$、$e_3 = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}$ は基本ベクトルを表します。

1. 問題の内容

(1) $e_2 \times e_1$ と $e_3 \times e_1$ を計算します。

(2) $(e_1 \times e_1) \times e_2 \neq e_1 \times (e_1 \times e_2)$ が成り立つことを確認します。ここで、$e_1 = \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}$、$e_2 = \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix}$、$e_3 = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}$ は基本ベクトルを表します。

2. 解き方の手順

(1) 外積の定義を用いて計算します。

$e_2 \times e_1 = \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix} \times \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} (1)(0) - (0)(0) \\ (0)(1) - (0)(0) \\ (0)(0) - (1)(1) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ -1 \end{pmatrix} = -e_3$

$e_3 \times e_1 = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix} \times \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} (0)(0) - (1)(0) \\ (1)(1) - (0)(0) \\ (0)(0) - (0)(1) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix} = e_2$

(2) まず、左辺を計算します。

$e_1 \times e_1 = \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} \times \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} (0)(0) - (0)(0) \\ (0)(1) - (1)(0) \\ (1)(0) - (0)(1) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} = 0$

$(e_1 \times e_1) \times e_2 = 0 \times e_2 = 0$

次に、右辺を計算します。

$e_1 \times e_2 = \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} \times \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} (0)(0) - (0)(1) \\ (0)(0) - (1)(0) \\ (1)(1) - (0)(0) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix} = e_3$

$e_1 \times (e_1 \times e_2) = e_1 \times e_3 = \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} \times \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} (0)(1) - (0)(0) \\ (0)(0) - (1)(1) \\ (1)(0) - (0)(0) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ -1 \\ 0 \end{pmatrix} = -e_2$

したがって、$(e_1 \times e_1) \times e_2 = 0$ であり、$e_1 \times (e_1 \times e_2) = -e_2$ であるため、$(e_1 \times e_1) \times e_2 \neq e_1 \times (e_1 \times e_2)$ が成り立ちます。

3. 最終的な答え

(1)

$e_2 \times e_1 = -e_3 = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ -1 \end{pmatrix}$

$e_3 \times e_1 = e_2 = \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix}$

(2)

$(e_1 \times e_1) \times e_2 \neq e_1 \times (e_1 \times e_2)$ は成り立つ。