画像から、以下の線形計画問題を解く必要があります。 目的関数： $Z = 15x_1 + 10x_2$ (最大化) 制約条件： $4x_1 + 6x_2 \le 360$ $3x_1 + 0x_2 \le 120$ $0x_1 + 5x_2 \le 200$ $x_1, x_2 \ge 0$

1. 問題の内容

画像から、以下の線形計画問題を解く必要があります。

目的関数：

$Z = 15x_1 + 10x_2$ (最大化)

制約条件：

$4x_1 + 6x_2 \le 360$

$3x_1 + 0x_2 \le 120$

$0x_1 + 5x_2 \le 200$

$x_1, x_2 \ge 0$

2. 解き方の手順

この問題をシンプレックス法で解きます。

ステップ1: 標準形に変換します。制約条件にスラック変数 $s_1, s_2, s_3$ を導入します。

$4x_1 + 6x_2 + s_1 = 360$

$3x_1 + s_2 = 120$

$5x_2 + s_3 = 200$

$x_1, x_2, s_1, s_2, s_3 \ge 0$

目的関数は $Z = 15x_1 + 10x_2 + 0s_1 + 0s_2 + 0s_3$ となります。

ステップ2: 初期シンプレックス表を作成します。

| | $x_1$ | $x_2$ | $s_1$ | $s_2$ | $s_3$ | RHS |

|---|---|---|---|---|---|---|

| $s_1$ | 4 | 6 | 1 | 0 | 0 | 360 |

| $s_2$ | 3 | 0 | 0 | 1 | 0 | 120 |

| $s_3$ | 0 | 5 | 0 | 0 | 1 | 200 |

| Z | -15 | -10 | 0 | 0 | 0 | 0 |

ステップ3: ピボット列を選択します。最も負の係数を持つ列を選びます。ここでは $x_1$ 列 (係数 -15) を選択します。

ステップ4: ピボット行を選択します。各行の RHS をピボット列の対応する要素で割ります (ただし、0 または負の要素では割らない)。最小の正の比率を持つ行を選びます。

- $s_1$ 行: 360/4 = 90

- $s_2$ 行: 120/3 = 40

- $s_3$ 行: 200/0 = 定義されない

最小の比率は40なので、$s_2$ 行をピボット行として選びます。

ステップ5: ピボット要素 (ピボット列とピボット行の交点の要素) を 1 にします。ピボット行をピボット要素で割ります。ここではピボット要素は3なので、$s_2$ 行を3で割ります。

新しい $s_2$ 行: 1 | 0 | 0 | 1/3 | 0 | 40

ステップ6: ピボット列の他の要素を 0 にします。行基本変形を行います。

- 新しい $s_1$ 行: $s_1$ 行 - 4 * 新しい $s_2$ 行 = 0 | 6 | 1 | -4/3 | 0 | 200

- 新しい Z 行: Z 行 + 15 * 新しい $s_2$ 行 = 0 | -10 | 0 | 5 | 0 | 600

新しいシンプレックス表：

| | $x_1$ | $x_2$ | $s_1$ | $s_2$ | $s_3$ | RHS |

|---|---|---|---|---|---|---|

| $s_1$ | 0 | 6 | 1 | -4/3 | 0 | 200 |

| $x_1$ | 1 | 0 | 0 | 1/3 | 0 | 40 |

| $s_3$ | 0 | 5 | 0 | 0 | 1 | 200 |

| Z | 0 | -10 | 0 | 5 | 0 | 600 |

ステップ7: Z 行にまだ負の係数があるので、別の反復を行います。

ピボット列は $x_2$ 列です。

比率を計算します。

- $s_1$ 行: 200/6 = 33.33

- $x_1$ 行: 定義されない

- $s_3$ 行: 200/5 = 40

ピボット行は $s_1$ 行です。ピボット要素は6です。

新しい $s_1$ 行: 0 | 1 | 1/6 | -2/9 | 0 | 100/3

行基本変形を行います。

- 新しい $x_1$ 行: $x_1$ 行 - 0 * 新しい $s_1$ 行 = 1 | 0 | 0 | 1/3 | 0 | 40

- 新しい $s_3$ 行: $s_3$ 行 - 5 * 新しい $s_1$ 行 = 0 | 0 | -5/6 | 10/9 | 1 | 100/3

- 新しい Z 行: Z 行 + 10 * 新しい $s_1$ 行 = 0 | 0 | 5/3 | 25/9 | 0 | 2800/3

新しいシンプレックス表：

| | $x_1$ | $x_2$ | $s_1$ | $s_2$ | $s_3$ | RHS |

|---|---|---|---|---|---|---|

| $x_2$ | 0 | 1 | 1/6 | -2/9 | 0 | 100/3 |

| $x_1$ | 1 | 0 | 0 | 1/3 | 0 | 40 |

| $s_3$ | 0 | 0 | -5/6 | 10/9 | 1 | 100/3 |

| Z | 0 | 0 | 5/3 | 25/9 | 0 | 2800/3 |

ステップ8: Z 行に負の係数がないため、最適解です。

$x_1 = 40$

$x_2 = 100/3 \approx 33.33$

$Z = 2800/3 \approx 933.33$

3. 最終的な答え

$x_1 = 40$

$x_2 = \frac{100}{3}$

$Z = \frac{2800}{3}$

または

$x_1 = 40$

$x_2 \approx 33.33$

$Z \approx 933.33$