薬物Aの水に対する溶解度は5.25 w/v%、分解速度定数は $2.00 \times 10^{-2} h^{-1}$ である。薬物1.20gを水10.0mLに懸濁させたとき、残存率が50.0%と25.0%になるのはそれぞれ懸濁してから何時間後かを求める問題。ただし、溶解速度は分解速度に比べて十分に速いものとする。

1. 問題の内容

薬物Aの水に対する溶解度は5.25 w/v%、分解速度定数は $2.00 \times 10^{-2} h^{-1}$ である。薬物1.20gを水10.0mLに懸濁させたとき、残存率が50.0%と25.0%になるのはそれぞれ懸濁してから何時間後かを求める問題。ただし、溶解速度は分解速度に比べて十分に速いものとする。

2. 解き方の手順

まず、薬物Aの溶解度を質量/体積パーセント濃度（w/v%）から、単位をg/mLに変換します。

$5.25 w/v\% = \frac{5.25 g}{100 mL} = 0.0525 g/mL$

次に、10.0mLの水に溶ける薬物Aの最大質量を計算します。

$0.0525 g/mL \times 10.0 mL = 0.525 g$

したがって、1.20gの薬物を10.0mLの水に懸濁させると、溶解する量は0.525gであり、未溶解量は

$1.20 g - 0.525 g = 0.675 g$ となります。

溶液中の薬物濃度は0.525gであり、未溶解の薬物濃度は0.675gとなります。

一次反応速度式に従う分解反応なので、以下の式が成立します。

$ln(\frac{C_t}{C_0}) = -kt$

ここで、

$C_t$ は時間 t における薬物Aの濃度（溶解している薬物のみが分解されるので、溶液中の濃度を考えます）、

$C_0$ は初期濃度、

$k$ は分解速度定数 ($2.00 \times 10^{-2} h^{-1}$)、

$t$ は時間です。

残存率が50.0%のとき、

$C_t = 0.5 \times 0.525 g = 0.2625 g$

$C_0 = 0.525 g$

$ln(\frac{0.2625 g}{0.525 g}) = -2.00 \times 10^{-2} h^{-1} \times t$

$ln(0.5) = -2.00 \times 10^{-2} h^{-1} \times t$

$t = \frac{ln(0.5)}{-2.00 \times 10^{-2}} h = \frac{-0.6931}{-0.02} h \approx 34.66 h$

有効数字2桁で答えるので、35時間

残存率が25.0%のとき、

$C_t = 0.25 \times 0.525 g = 0.13125 g$

$C_0 = 0.525 g$

$ln(\frac{0.13125 g}{0.525 g}) = -2.00 \times 10^{-2} h^{-1} \times t$

$ln(0.25) = -2.00 \times 10^{-2} h^{-1} \times t$

$t = \frac{ln(0.25)}{-2.00 \times 10^{-2}} h = \frac{-1.3863}{-0.02} h \approx 69.31 h$

有効数字2桁で答えるので、69時間

3. 最終的な答え

残存率が50.0%になるのは35時間後、残存率が25.0%になるのは69時間後。