地面上の点Oから小石を仰角$\theta$、初速$v_0$で斜めに投げ上げたとき、以下の2つを重力加速度$g$、$v_0$、$\theta$を用いて表す問題です。 * 小石の最高到達点の高さ * 小石が地面に落ちる点の、点Oからの水平距離

1. 問題の内容

地面上の点Oから小石を仰角$\theta$、初速$v_0$で斜めに投げ上げたとき、以下の2つを重力加速度$g$、$v_0$、$\theta$を用いて表す問題です。

* 小石の最高到達点の高さ

* 小石が地面に落ちる点の、点Oからの水平距離

2. 解き方の手順

(1) 最高到達点の高さについて

最高到達点では、鉛直方向の速度が0になることを利用します。

初速度の鉛直成分を$v_{0y}$とすると、$v_{0y} = v_0 \sin\theta$です。

等加速度運動の公式 $v^2 - v_0^2 = 2ax$ を鉛直方向の運動に適用します。ここで、$v = 0$ (最高到達点での鉛直速度)、$v_0 = v_{0y} = v_0 \sin\theta$、$a = -g$、$x = h$ (最高到達点の高さ) となります。

$0^2 - (v_0 \sin\theta)^2 = 2(-g)h$

$h = \frac{(v_0 \sin\theta)^2}{2g}$

$h = \frac{v_0^2 \sin^2\theta}{2g}$

(2) 水平距離について

水平方向の速度は一定で$v_{0x} = v_0 \cos\theta$です。鉛直方向の変位が0となるまでの時間を求め、その時間と水平方向の速度を掛けることで水平距離を計算します。

鉛直方向の運動について、等加速度運動の公式 $x = v_0 t + \frac{1}{2}at^2$ を適用します。ここで、$x = 0$ (変位が0)、$v_0 = v_0 \sin\theta$、$a = -g$です。

$0 = v_0 \sin\theta \cdot t - \frac{1}{2}gt^2$

$0 = t(v_0 \sin\theta - \frac{1}{2}gt)$

$t=0$または$v_0 \sin\theta - \frac{1}{2}gt = 0$

$t=0$は出発時の時間なので、もう一つの解は

$t = \frac{2 v_0 \sin\theta}{g}$

この時間$t$を用いて、水平距離$R$は以下のようになります。

$R = v_{0x} \cdot t$

$R = v_0 \cos\theta \cdot \frac{2 v_0 \sin\theta}{g}$

$R = \frac{2 v_0^2 \sin\theta \cos\theta}{g}$

三角関数の公式 $2\sin\theta\cos\theta = \sin(2\theta)$ より、

$R = \frac{v_0^2 \sin(2\theta)}{g}$

3. 最終的な答え

* 小石の最高到達点の高さ: $\frac{v_0^2 \sin^2\theta}{2g}$

* 小石が地面に落ちる点の、点Oからの水平距離: $\frac{v_0^2 \sin(2\theta)}{g}$