ある物質Aの分解反応について、以下の4つの問いに答えます。 (1) Aの分解反応の反応次数を答えます。 (2) 87℃におけるAの半減期を求め、初濃度100 mg/mLの場合の残存濃度と時間の関係を表すグラフを作成します。 (3) Aの分解反応の活性化エネルギーを求めます。 (4) 7℃でAが90%残存する時間を求めます。

1. 問題の内容

ある物質Aの分解反応について、以下の4つの問いに答えます。

(1) Aの分解反応の反応次数を答えます。

(2) 87℃におけるAの半減期を求め、初濃度100 mg/mLの場合の残存濃度と時間の関係を表すグラフを作成します。

(3) Aの分解反応の活性化エネルギーを求めます。

(4) 7℃でAが90%残存する時間を求めます。

2. 解き方の手順

(1) 反応次数の決定

図1より、半減期 $t_{1/2}$ が初濃度 $A_0$ に依存しないため、この反応は一次反応であると考えられます。なぜなら、一次反応の半減期は初濃度に依存しないからです。

(2) 87℃における半減期の計算

図1より、87℃における半減期 $t_{1/2}$ は約1.4時間です。

一次反応の場合、濃度 $A$ は以下の式に従って変化します。

$A = A_0 e^{-kt}$

ここで、$A_0$ は初期濃度、$k$ は速度定数、$t$ は時間です。半減期の定義より、$t = t_{1/2}$ のとき $A = A_0/2$ なので、

$A_0/2 = A_0 e^{-kt_{1/2}}$

$1/2 = e^{-kt_{1/2}}$

$ln(1/2) = -kt_{1/2}$

$k = ln(2) / t_{1/2} = 0.7 / 1.4 = 0.5 hr^{-1}$

初期濃度が100 mg/mLの場合、残存濃度と時間の関係は、$A = 100 e^{-0.5t}$ で表されます。この式に基づいてグラフを作成します。

(3) 活性化エネルギーの計算

図2のグラフから、$\ln k = 26 - 10000 \times (1/T)$ であることがわかります。

アレニウスの式は以下の通りです。

$k = A e^{-E_a/RT}$

$\ln k = \ln A - E_a/RT$

ここで、$E_a$ は活性化エネルギー、$R$ は気体定数、$T$ は絶対温度、$A$ は頻度因子です。

図2のグラフと比較すると、 $-E_a/R = -10000$ であるため、

$E_a = 10000 \times R = 10000 \times 8.3 = 83000 J/mol = 83 kJ/mol$

(4) 7℃での90%残存時間の計算

図2の式 $\ln k = 26 - 10000 \times (1/T)$ を使って、7℃ (280 K) での $k$ を求めます。

$\ln k = 26 - 10000 / 280 = 26 - 35.71 = -9.71$

$k = e^{-9.71} hr^{-1} \approx 6.0 \times 10^{-5} hr^{-1}$

$A = A_0 e^{-kt}$ の式で、$A = 0.9 A_0$ となる $t$ を求めます。

$0.9 A_0 = A_0 e^{-kt}$

$0.9 = e^{-kt}$

$\ln 0.9 = -kt$

$t = -\ln 0.9 / k = -(-0.1054) / (6.0 \times 10^{-5}) = 1756.6$ hours

3. 最終的な答え

(1) 1次反応

(2) 半減期：1.4時間。残存濃度と時間の関係は $A = 100 e^{-0.5t}$

(3) 活性化エネルギー：83 kJ/mol

(4) 90%残存時間：約1757時間