ラグランジュの乗数法を用いて、$z = x + y$ が条件 $x^2 + 4y^2 = 4$ のもとで極値をとる候補点を求める。

1. 問題の内容

ラグランジュの乗数法を用いて、$z = x + y$ が条件 $x^2 + 4y^2 = 4$ のもとで極値をとる候補点を求める。

2. 解き方の手順

ラグランジュ関数を $L(x, y, \lambda) = x + y - \lambda(x^2 + 4y^2 - 4)$ と定義する。

極値をとる条件は、以下の連立方程式を解くことで得られる。

$\frac{\partial L}{\partial x} = 1 - 2\lambda x = 0$

$\frac{\partial L}{\partial y} = 1 - 8\lambda y = 0$

$\frac{\partial L}{\partial \lambda} = x^2 + 4y^2 - 4 = 0$

最初の2つの式から、

$2\lambda x = 1$

$8\lambda y = 1$

したがって、

$2\lambda x = 8\lambda y$

$\lambda \neq 0$ より、$x = 4y$

これを制約条件 $x^2 + 4y^2 = 4$ に代入すると、

$(4y)^2 + 4y^2 = 4$

$16y^2 + 4y^2 = 4$

$20y^2 = 4$

$y^2 = \frac{4}{20} = \frac{1}{5}$

$y = \pm \frac{1}{\sqrt{5}}$

$x = 4y$ より、

$y = \frac{1}{\sqrt{5}}$ のとき $x = \frac{4}{\sqrt{5}}$

$y = -\frac{1}{\sqrt{5}}$ のとき $x = -\frac{4}{\sqrt{5}}$

したがって、候補点は $\left(\frac{4}{\sqrt{5}}, \frac{1}{\sqrt{5}}\right)$ と $\left(-\frac{4}{\sqrt{5}}, -\frac{1}{\sqrt{5}}\right)$ である。

3. 最終的な答え

$\left(\frac{4}{\sqrt{5}}, \frac{1}{\sqrt{5}}\right)$, $\left(-\frac{4}{\sqrt{5}}, -\frac{1}{\sqrt{5}}\right)$