ベクトル $\vec{a} = \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ -1 \end{pmatrix}$, $\vec{b} = \begin{pmatrix} 2 \\ -1 \\ 2 \end{pmatrix}$, $\vec{c} = \begin{pmatrix} 1 \\ -2 \\ -1 \end{pmatrix}$ が与えられたとき、以下の計算を行いなさい。 (1) $\vec{a} \times \vec{b}$ (2) $(\vec{a} \times \vec{b}) \times \vec{c}$ (3) $(\vec{a} \cdot \vec{c})\vec{b} - (\vec{b} \cdot \vec{c})\vec{a}$

1. 問題の内容

ベクトル $\vec{a} = \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ -1 \end{pmatrix}$, $\vec{b} = \begin{pmatrix} 2 \\ -1 \\ 2 \end{pmatrix}$, $\vec{c} = \begin{pmatrix} 1 \\ -2 \\ -1 \end{pmatrix}$ が与えられたとき、以下の計算を行いなさい。

(1) $\vec{a} \times \vec{b}$

(2) $(\vec{a} \times \vec{b}) \times \vec{c}$

(3) $(\vec{a} \cdot \vec{c})\vec{b} - (\vec{b} \cdot \vec{c})\vec{a}$

2. 解き方の手順

(1) $\vec{a} \times \vec{b}$ の計算

$\vec{a} \times \vec{b} = \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ -1 \end{pmatrix} \times \begin{pmatrix} 2 \\ -1 \\ 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} (1)(2) - (-1)(-1) \\ (-1)(2) - (1)(2) \\ (1)(-1) - (1)(2) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 - 1 \\ -2 - 2 \\ -1 - 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 \\ -4 \\ -3 \end{pmatrix}$

(2) $(\vec{a} \times \vec{b}) \times \vec{c}$ の計算

$\vec{a} \times \vec{b} = \begin{pmatrix} 1 \\ -4 \\ -3 \end{pmatrix}$ より、

$(\vec{a} \times \vec{b}) \times \vec{c} = \begin{pmatrix} 1 \\ -4 \\ -3 \end{pmatrix} \times \begin{pmatrix} 1 \\ -2 \\ -1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} (-4)(-1) - (-3)(-2) \\ (-3)(1) - (1)(-1) \\ (1)(-2) - (-4)(1) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 4 - 6 \\ -3 + 1 \\ -2 + 4 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -2 \\ -2 \\ 2 \end{pmatrix}$

(3) $(\vec{a} \cdot \vec{c})\vec{b} - (\vec{b} \cdot \vec{c})\vec{a}$ の計算

まず、$\vec{a} \cdot \vec{c}$ と $\vec{b} \cdot \vec{c}$ を計算する。

$\vec{a} \cdot \vec{c} = (1)(1) + (1)(-2) + (-1)(-1) = 1 - 2 + 1 = 0$

$\vec{b} \cdot \vec{c} = (2)(1) + (-1)(-2) + (2)(-1) = 2 + 2 - 2 = 2$

したがって、

$(\vec{a} \cdot \vec{c})\vec{b} - (\vec{b} \cdot \vec{c})\vec{a} = (0)\vec{b} - (2)\vec{a} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} - 2\begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ -1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -2 \\ -2 \\ 2 \end{pmatrix}$

3. 最終的な答え

(1) $\vec{a} \times \vec{b} = \begin{pmatrix} 1 \\ -4 \\ -3 \end{pmatrix}$

(2) $(\vec{a} \times \vec{b}) \times \vec{c} = \begin{pmatrix} -2 \\ -2 \\ 2 \end{pmatrix}$

(3) $(\vec{a} \cdot \vec{c})\vec{b} - (\vec{b} \cdot \vec{c})\vec{a} = \begin{pmatrix} -2 \\ -2 \\ 2 \end{pmatrix}$