ラグランジュの恒等式を証明する問題です。具体的には、3つの実ベクトル $a, b, c, d$ に対して、以下の等式が成り立つことを証明します。 $$(a \times b) \cdot (c \times d) = (a \cdot c)(b \cdot d) - (a \cdot d)(b \cdot c)$$

1. 問題の内容

ラグランジュの恒等式を証明する問題です。具体的には、3つの実ベクトル $a, b, c, d$ に対して、以下の等式が成り立つことを証明します。

$$(a \times b) \cdot (c \times d) = (a \cdot c)(b \cdot d) - (a \cdot d)(b \cdot c)$$

2. 解き方の手順

まず、ベクトル三重積の性質を利用します。ベクトル $x, y, z$ に対して、

$$x \cdot (y \times z) = (x \times y) \cdot z$$

が成り立ちます。

この性質を使うと、左辺は

$$(a \times b) \cdot (c \times d) = ((a \times b) \times c) \cdot d$$

と変形できます。

次に、ベクトル三重積の公式

$$(x \times y) \times z = (x \cdot z)y - (y \cdot z)x$$

を用います。

$$(a \times b) \times c = (a \cdot c)b - (b \cdot c)a$$

したがって、

$$((a \times b) \times c) \cdot d = ((a \cdot c)b - (b \cdot c)a) \cdot d$$

分配法則を用いて、

$$((a \cdot c)b - (b \cdot c)a) \cdot d = (a \cdot c)(b \cdot d) - (b \cdot c)(a \cdot d)$$

となります。これは右辺と同じなので、証明が完了しました。

3. 最終的な答え

ラグランジュの恒等式は以下のように証明されました。

$$(a \times b) \cdot (c \times d) = (a \cdot c)(b \cdot d) - (a \cdot d)(b \cdot c)$$