ベイリーという人が、冷たい飲料水が出る井戸を所有しており、その飲料水の需要曲線が $P = 120 - Q$、限界収入曲線が $MR = 120 - 2Q$、限界費用曲線が $MC = Q$ で与えられています。ここで、$P$ は価格、$Q$ は生産量です。水の供給に固定費はかからないとして、ベイリーが利潤を最大化したときの利潤を求めます。さらに、ベイリーが完全に価格差別をすることができ、その際に固定費用2000がかかるとします。価格差別によって総余剰がどれだけ変化するかを求めます。

1. 問題の内容

ベイリーという人が、冷たい飲料水が出る井戸を所有しており、その飲料水の需要曲線が $P = 120 - Q$、限界収入曲線が $MR = 120 - 2Q$、限界費用曲線が $MC = Q$ で与えられています。ここで、$P$ は価格、$Q$ は生産量です。水の供給に固定費はかからないとして、ベイリーが利潤を最大化したときの利潤を求めます。さらに、ベイリーが完全に価格差別をすることができ、その際に固定費用2000がかかるとします。価格差別によって総余剰がどれだけ変化するかを求めます。

2. 解き方の手順

まず、利潤を最大化する生産量 $Q$ を求めます。利潤を最大化するためには、限界収入 $MR$ と限界費用 $MC$ が等しくなるように生産量を設定します。

$MR = MC$ より、

$120 - 2Q = Q$

$3Q = 120$

$Q = 40$

このときの価格 $P$ は、需要曲線から求められます。

$P = 120 - Q = 120 - 40 = 80$

利潤は、総収入 $TR$ から総費用 $TC$ を引いたものとして計算されます。

$TR = P \times Q = 80 \times 40 = 3200$

$TC = \int_0^Q MC \, dQ = \int_0^{40} Q \, dQ = \frac{1}{2}Q^2 \Big|_0^{40} = \frac{1}{2}(40^2) = \frac{1}{2}(1600) = 800$

したがって、利潤は

$Profit = TR - TC = 3200 - 800 = 2400$

次に、完全に価格差別をする場合を考えます。このとき、生産量は需要曲線と限界費用曲線が交わるところまで生産します。

$P = MC$ より、

$120 - Q = Q$

$2Q = 120$

$Q = 60$

このときの総収入は、需要曲線の下の面積で表されます。つまり、

$TR = \int_0^{60} (120 - Q) \, dQ = [120Q - \frac{1}{2}Q^2]_0^{60} = 120(60) - \frac{1}{2}(60^2) = 7200 - \frac{1}{2}(3600) = 7200 - 1800 = 5400$

総費用は、限界費用の積分なので

$TC = \int_0^{60} Q \, dQ = \frac{1}{2}Q^2 \Big|_0^{60} = \frac{1}{2}(60^2) = \frac{1}{2}(3600) = 1800$

したがって、利潤は

$Profit = TR - TC - FixedCost = 5400 - 1800 - 2000 = 1600$

消費者余剰は、最初のケースではゼロではありません。価格差別がない場合、消費者余剰は、需要曲線と価格 $P=80$ の間の領域であり、生産量 $Q=40$までです。

消費者余剰 $= \frac{1}{2}(120-80) \times 40 = \frac{1}{2}(40)(40) = 800$

生産者余剰は利潤と同じなので $= 2400$

総余剰 $= 800 + 2400 = 3200$

価格差別がある場合、消費者余剰はゼロになり、生産者余剰は利潤になります。

総余剰$= 1600$

したがって、総余剰の変化分は

$1600-3200 = -1600$

3. 最終的な答え

利潤を最大化したときの利潤: 2400

価格差別によって総余剰は1600減少する。