物質Aの分解反応に関する問題です。反応速度式、半減期、アレニウス式などが与えられ、それらを用いて、反応次数、半減期、活性化エネルギー、残存時間などを計算します。

1. 問題の内容

物質Aの分解反応に関する問題です。反応速度式、半減期、アレニウス式などが与えられ、それらを用いて、反応次数、半減期、活性化エネルギー、残存時間などを計算します。

2. 解き方の手順

(1) Aの分解反応の反応次数を求める。

図1より、$\ln t_{1/2}$ と $\ln A_0$ の関係が直線であることから、

$\ln t_{1/2} = a \ln A_0 + b$ ($a$, $b$は定数) の関係があることがわかる。

半減期の式は、$t_{1/2} \propto A_0^{1-n}$ （nは反応次数）と表されるので、

$\ln t_{1/2} = (1-n) \ln A_0 + \text{定数}$

図1のグラフの傾きはほぼ0であるので、$1-n = 0$

したがって、$n = 1$

Aの分解反応の反応次数は1次。

(2) Aの87℃における半減期は何時間か。また、初濃度を100mg/mL としたとき、残存濃度と時間との関係を表すグラフを書け。

図1より、87℃における半減期は、初期濃度に依存しないことがわかる。

$\ln A_0$ が0の時 $\ln t_{1/2}$ は 1.4程度なので、$t_{1/2} = e^{1.4} \approx 4.06$ 時間

一次反応における残存濃度は $A(t) = A_0 e^{-kt}$ で表される。

$t_{1/2} = \ln 2 / k$ なので、$k = \ln 2 / t_{1/2} = 0.693 / 4.06 \approx 0.171$ hr$^{-1}$

したがって、$A(t) = 100 e^{-0.171t}$

(3) Aの分解反応の活性化エネルギーは何kJ/molか。

アレニウスの式は、$k = A e^{-E_a/RT}$ と表される。

$\ln k = \ln A - E_a/RT$

図2より、$\ln k = 26 - 10000(1/T)$ なので、$-E_a/R = -10000$

$E_a = 10000R = 10000 \times 8.3 = 83000$ J/mol $= 83$ kJ/mol

(4) 7℃で90%残存する時間は何時間か。

$\ln k = 26 - 10000(1/T)$ に $T = 7 + 273 = 280$ K を代入する。

$\ln k = 26 - 10000/280 = 26 - 35.71 = -9.71$

$k = e^{-9.71} \approx 6.03 \times 10^{-5}$ hr$^{-1}$

$0.9A_0 = A_0 e^{-kt}$ より、 $0.9 = e^{-kt}$

$\ln 0.9 = -kt$

$t = -\ln 0.9 / k = -\ln (9/10) / k = -(\ln 9 - \ln 10) / k = - (2\ln 3 - \ln 10) / k$

$= -(2(1.1) - 2.3) / (6.03 \times 10^{-5}) = -(-0.1) / (6.03 \times 10^{-5}) = 0.1 / (6.03 \times 10^{-5}) \approx 1658$ 時間

3. 最終的な答え

(1) 1次

(2) 4.06時間, $A(t) = 100 e^{-0.171t}$

(3) 83 kJ/mol

(4) 1658 時間