競争市場において、各企業の総費用が $TC = 5 + q + \frac{1}{2}q^2$、限界費用が $MC = 1 + q$ で与えられている。ここで、$q$ は個々の企業の生産量である。また、この財の需要曲線は $P = 10 - Q$ で与えられている。ここで、$P$ は価格、$Q$ は財の総量である。現在5社の企業が参入しているとき、この市場における短期の均衡価格を求める。

1. 問題の内容

競争市場において、各企業の総費用が $TC = 5 + q + \frac{1}{2}q^2$、限界費用が $MC = 1 + q$ で与えられている。ここで、$q$ は個々の企業の生産量である。また、この財の需要曲線は $P = 10 - Q$ で与えられている。ここで、$P$ は価格、$Q$ は財の総量である。現在5社の企業が参入しているとき、この市場における短期の均衡価格を求める。

2. 解き方の手順

まず、市場全体の供給量 $Q$ を求める。5社の企業が参入しており、各企業の生産量が $q$ であるから、$Q = 5q$となる。

次に、各企業の利潤最大化条件を考える。完全競争市場では、各企業は価格受容者であるため、価格 $P$ が与えられたとき、限界費用 $MC$ が価格 $P$ と等しくなるように生産量 $q$ を決定する。

$MC = P$より、

$1 + q = P$

市場全体の需要関数は $P = 10 - Q$ である。$Q = 5q$ を代入すると、

$P = 10 - 5q$

$1 + q = 10 - 5q$

$6q = 9$

$q = \frac{9}{6} = \frac{3}{2} = 1.5$

次に、$q = 1.5$ を需要関数に代入して均衡価格 $P$ を求める。

$P = 10 - 5q = 10 - 5 \times 1.5 = 10 - 7.5 = 2.5$

3. 最終的な答え

短期の均衡価格は2.5である。