与えられた数 $(1/2)^{100}$, $(1/30)^{20}$, $0.06^{35}$ をそれぞれ小数で表したとき、小数第何位に初めて0でない数字が現れるかを求める問題です。ただし、$\log_{10}2 = 0.3010$、$\log_{10}3 = 0.4771$ が与えられています。

1. 問題の内容

与えられた数 $(1/2)^{100}$, $(1/30)^{20}$, $0.06^{35}$ をそれぞれ小数で表したとき、小数第何位に初めて0でない数字が現れるかを求める問題です。ただし、$\log_{10}2 = 0.3010$、$\log_{10}3 = 0.4771$ が与えられています。

2. 解き方の手順

各数について、常用対数をとり、その値から小数部分が初めて0でない数字が現れる位を求めます。

(1) $(1/2)^{100}$ について:

$x = (1/2)^{100}$ とおきます。

$\log_{10}x = \log_{10}(1/2)^{100} = 100\log_{10}(1/2) = 100(\log_{10}1 - \log_{10}2) = 100(0 - 0.3010) = -30.10$

$\log_{10}x = -30.10 = -31 + 0.90$

したがって、$x = 10^{-31} \times 10^{0.90}$ となります。$10^{0.90}$ は1以上10未満の値を持つので、小数第31位に初めて0でない数字が現れます。

(2) $(1/30)^{20}$ について:

$x = (1/30)^{20}$ とおきます。

$\log_{10}x = \log_{10}(1/30)^{20} = 20\log_{10}(1/30) = 20(\log_{10}1 - \log_{10}30) = 20(0 - \log_{10}(3 \times 10)) = 20(-(\log_{10}3 + \log_{10}10)) = 20(-(0.4771 + 1)) = 20(-1.4771) = -29.542$

$\log_{10}x = -29.542 = -30 + 0.458$

したがって、$x = 10^{-30} \times 10^{0.458}$ となります。$10^{0.458}$ は1以上10未満の値を持つので、小数第30位に初めて0でない数字が現れます。

(3) $0.06^{35}$ について:

$x = 0.06^{35}$ とおきます。

$\log_{10}x = \log_{10}(0.06)^{35} = 35\log_{10}(0.06) = 35\log_{10}(6 \times 10^{-2}) = 35(\log_{10}6 + \log_{10}10^{-2}) = 35(\log_{10}(2 \times 3) - 2) = 35(\log_{10}2 + \log_{10}3 - 2) = 35(0.3010 + 0.4771 - 2) = 35(0.7781 - 2) = 35(-1.2219) = -42.7665$

$\log_{10}x = -42.7665 = -43 + 0.2335$

したがって、$x = 10^{-43} \times 10^{0.2335}$ となります。$10^{0.2335}$ は1以上10未満の値を持つので、小数第43位に初めて0でない数字が現れます。

3. 最終的な答え

(1) 小数第31位

(2) 小数第30位

(3) 小数第43位