ある物質Aの分解反応について、反応速度式、半減期と初濃度の関係、反応速度定数と絶対温度の関係が与えられている。これらの情報をもとに、反応次数、半減期、活性化エネルギー、および特定の条件下での残存時間を求める。

1. 問題の内容

ある物質Aの分解反応について、反応速度式、半減期と初濃度の関係、反応速度定数と絶対温度の関係が与えられている。これらの情報をもとに、反応次数、半減期、活性化エネルギー、および特定の条件下での残存時間を求める。

2. 解き方の手順

(1) Aの分解反応の反応次数を求める。

図1から、半減期 $t_{1/2}$ と初濃度 $A_0$ の関係がわかる。グラフは直線であり、$t_{1/2}$ は $A_0$ に比例していると考えられる。

$t_{1/2} \propto A_0$

反応速度式は $v = k[A]^a$ と表される。

半減期の式は反応次数によって異なる。

0次反応: $t_{1/2} = \frac{[A]_0}{2k}$

1次反応: $t_{1/2} = \frac{\ln 2}{k}$

2次反応: $t_{1/2} = \frac{1}{k[A]_0}$

$t_{1/2}$ が $A_0$ に比例するのは0次反応の場合である。

したがって、反応次数は0である。

(2) Aの87℃における半減期を求める。

図1より、87℃における半減期 $t_{1/2}$ と初濃度 $A_0$ の関係を表すグラフがある。

$ln(t_{1/2})$ vs $ln(A_0)$ のグラフから傾きを求める。直線上の2点を読み取る。

例えば、(0, 0.2)と(4, 1.4)を読むと、

傾き = $\frac{1.4 - 0.2}{4 - 0} = \frac{1.2}{4} = 0.3$

したがって、$ln(t_{1/2}) = ln(t_{1/2})_{A_0=1} + 0.3 ln(A_0)$となる。

$A_0=1$ のとき、$ln(t_{1/2})=0.2$ なので、$t_{1/2} = e^{0.2} \approx 1.22$ 時間である。

$A_0=100$ mg/mLのときの$t_{1/2}$を求める。

図1のグラフは$ln A_0$ に対する $ln t_{1/2}$ のグラフであるから、

$A_0$ が1から100に変化すると、$ln A_0$ は $ln(100) = ln(10^2) = 2 ln(10) = 2 \times 2.3 = 4.6$だけ変化する。

したがって、$ln t_{1/2}$ は $0.3 \times 4.6 = 1.38$ だけ変化する。

$ln t_{1/2} = 0.2 + 1.38 = 1.58$

$t_{1/2} = e^{1.58} \approx 4.86$ 時間

残存濃度と時間との関係を表すグラフを書く。

0次反応なので、 $[A] = [A]_0 - kt$

半減期 $t_{1/2} = \frac{[A]_0}{2k}$ より、 $k = \frac{[A]_0}{2t_{1/2}}$

$k = \frac{100}{2 \times 4.86} \approx 10.29 \text{ mg/mL hr}$

$[A] = 100 - 10.29t$

$[A]=0$ になるのは、$t = \frac{100}{10.29} \approx 9.72$ 時間

縦軸に残存濃度[A]、横軸に時間tをとる。

[A]はtの一次関数なので、(0, 100)と(9.72, 0)を結ぶ直線を描く。

(3) Aの分解反応の活性化エネルギーを求める。

図2より、 $ln k = 26 - 10000 \times (1/T)$

アレニウスの式は $k = A e^{-E_a/RT}$ なので、$ln k = ln A - \frac{E_a}{RT}$

$ln k = 26 - \frac{10000}{T}$

$\frac{E_a}{R} = 10000$

$E_a = 10000 \times R = 10000 \times 8.3 = 83000 \text{ J/mol} = 83 \text{ kJ/mol}$

(4) 7℃で90%残存する時間を求める。

$T = 7^\circ C = 273 + 7 = 280 \text{ K}$

$ln k = 26 - \frac{10000}{280} = 26 - 35.71 = -9.71$

$k = e^{-9.71} \approx 6.01 \times 10^{-5} \text{ hr}^{-1}$

0次反応なので、$[A] = [A]_0 - kt$

$0.9[A]_0 = [A]_0 - kt$

$0.1[A]_0 = kt$

$t = \frac{0.1[A]_0}{k} = \frac{0.1[A]_0}{6.01 \times 10^{-5}} = 1663.9 [A]_0$

初濃度$[A]_0$が指定されていないので、時間も決められない。

$[A]_0 = 100 \text{ mg/mL}$と仮定すると、$t = 166390 \text{ hr}$

別の解き方:

Aの分解反応速度は$v = k[A]^0 = k$であるから、速度はAの濃度に依存しない。

7℃で90%残存する場合、$[A]_t = 0.9[A]_0$

$[A]_t = [A]_0 - kt$より、$0.9[A]_0 = [A]_0 - kt$

$0.1[A]_0 = kt$

$t = \frac{0.1[A]_0}{k}$

ここで、問題にはAの初濃度が与えられていないので、$[A]_0$を特定できない。したがって、時間tを求めることができない。

もしも初濃度$[A]_0=1$と仮定した場合：

$T=280 K$のときのkは$k=e^{26-\frac{10000}{280}} = e^{26-35.71}=e^{-9.71} \approx 6.00 \times 10^{-5}$

$t=\frac{0.1}{6.00 \times 10^{-5}}=1666.7 \text{ hours}$

3. 最終的な答え

(1) 0次

(2) 4.86 時間。残存濃度と時間のグラフは、(0, 100)と(9.72, 0)を結ぶ直線。

(3) 83 kJ/mol

(4) 初濃度が不明なので、具体的な値は求められない。初濃度を$[A]_0$とすると、$t = \frac{0.1[A]_0}{k}$。もし$[A]_0=1$であれば、$t \approx 1666.7 \text{ hours}$