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ある物質Aの分解反応について、反応速度式 $v = k[A]^a$ (aは定数)で表される。87℃におけるAの初濃度と半減期の関係を示す図1と、異なる温度における反応速度定数kの自然対数と絶対温度Tの関係を示す図2が与えられている。問題は、Aの分解反応の反応次数、87℃における半減期、活性化エネルギー、7℃で90%残存する時間を求めるものである。

応用数学反応速度論化学反応微分方程式半減期アレニウスの式
2025/7/27

1. 問題の内容

ある物質Aの分解反応について、反応速度式 v=k[A]av = k[A]^a (aは定数)で表される。87℃におけるAの初濃度と半減期の関係を示す図1と、異なる温度における反応速度定数kの自然対数と絶対温度Tの関係を示す図2が与えられている。問題は、Aの分解反応の反応次数、87℃における半減期、活性化エネルギー、7℃で90%残存する時間を求めるものである。

2. 解き方の手順

(1) Aの分解反応の反応次数を求める。
図1より、ln(t1/2)とln(A0)の関係が直線である。直線の傾きを求める。
ln(t1/2) = c + m * ln(A0) (cは定数)
2点(1, 0.8)と(4, 1.4)を取ると、
傾きm = (1.4 - 0.8) / (4 - 1) = 0.6 / 3 = 0.2
半減期の式から、t1/2 ∝ A0^(1-a)なので、
ln(t1/2) = (1-a) * ln(A0) + const
したがって、1 - a = 0.2
a = 1 - 0.2 = 0.8
(2) Aの87℃における半減期を求める。
図1から、ln(A0) = 0の時、ln(t1/2) = 0.6 である。よって、
t1/2 = e^0.6 = e^(0.7-0.1) = e^0.7 / e^0.1 = 2 / 1.105 ≈ 1.81 時間
初濃度を100 mg/mLとしたとき、残存濃度と時間の関係を表すグラフは、a=0.8の反応の積分速度式から求められる。
1[A]0.2−1[A0]0.2=0.2kt\frac{1}{[A]^{0.2}} - \frac{1}{[A_0]^{0.2}} = 0.2kt
87℃ (360K) における k を求める。図2の回帰直線から、ln(k) = 26 - 10000 * (1/360) = 26 - 27.78 = -1.78
k = e^(-1.78) = 0.168 hr^-1
1[A]0.2=11000.2+0.2∗0.168∗t\frac{1}{[A]^{0.2}} = \frac{1}{100^{0.2}} + 0.2*0.168*t
1[A]0.2=12.51+0.0336t\frac{1}{[A]^{0.2}} = \frac{1}{2.51} + 0.0336t
(3) Aの分解反応の活性化エネルギーを求める。
アレニウスの式から、lnk = -Ea/R * (1/T) + 定数である。図2の回帰直線から、lnk = 26 - 10000 * (1/T)なので、
Ea/R = 10000
Ea = 10000 * R = 10000 * 8.3 J/mol = 83000 J/mol = 83 kJ/mol
(4) 7℃で90%残存する時間を求める。
7℃ (280K) における k を求める。図2の回帰直線から、ln(k) = 26 - 10000 * (1/280) = 26 - 35.71 = -9.71
k = e^(-9.71) = 6.04 * 10^-5 hr^-1
初濃度を[A0]とすると、残存濃度[A] = 0.9[A0]である。
1(0.9[A0])0.2−1[A0]0.2=0.2kt\frac{1}{(0.9[A_0])^{0.2}} - \frac{1}{[A_0]^{0.2}} = 0.2kt
1[A0]0.2(10.90.2−1)=0.2kt\frac{1}{[A_0]^{0.2}}(\frac{1}{0.9^{0.2}} - 1) = 0.2kt
1[A0]0.2(1.0227−1)=0.2∗6.04∗10−5∗t\frac{1}{[A_0]^{0.2}}(1.0227 - 1) = 0.2 * 6.04 * 10^{-5} * t
0.0227[A0]0.2=1.208∗10−5∗t\frac{0.0227}{[A_0]^{0.2}} = 1.208 * 10^{-5} * t
t=0.02271.208∗10−5[A0]0.2=1879[A0]0.2t = \frac{0.0227}{1.208*10^{-5}[A_0]^{0.2}} = \frac{1879}{[A_0]^{0.2}}
濃度が与えられていないため、これ以上計算できない。
90%残存する時間を求めるために、[A0] = 1 と仮定すると、t = 1879 hr

3. 最終的な答え

(1) Aの分解反応の反応次数: 0.8
(2) Aの87℃における半減期: 1.81 時間、残存濃度と時間の関係のグラフ(数式): 1[A]0.2=12.51+0.0336t\frac{1}{[A]^{0.2}} = \frac{1}{2.51} + 0.0336t
(3) Aの分解反応の活性化エネルギー: 83 kJ/mol
(4) 7℃で90%残存する時間: 濃度が与えられていないため計算できないが、仮に初濃度が１とした場合は1879 hr

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