$4.32^n$ の整数部分が4桁であるような整数 $n$ の個数を求める問題です。ただし、$\log_{10} 2 = 0.3010$ および $\log_{10} 3 = 0.4771$ を使用します。

1. 問題の内容

$4.32^n$ の整数部分が4桁であるような整数 $n$ の個数を求める問題です。ただし、$\log_{10} 2 = 0.3010$ および $\log_{10} 3 = 0.4771$ を使用します。

2. 解き方の手順

$4.32^n$ の整数部分が4桁であるとは、$1000 \le 4.32^n < 10000$ が成り立つということです。両辺の常用対数を取ると、

$\log_{10} 1000 \le \log_{10} (4.32^n) < \log_{10} 10000$

$3 \le n \log_{10} 4.32 < 4$

となります。したがって、

$\frac{3}{\log_{10} 4.32} \le n < \frac{4}{\log_{10} 4.32}$

を満たす整数 $n$ の個数を求めることになります。ここで、

$\log_{10} 4.32 = \log_{10} (432/100) = \log_{10} (2^4 \cdot 3^3 / 10^2) = \log_{10} 2^4 + \log_{10} 3^3 - \log_{10} 10^2 = 4 \log_{10} 2 + 3 \log_{10} 3 - 2 = 4(0.3010) + 3(0.4771) - 2 = 1.2040 + 1.4313 - 2 = 0.6353$

$\frac{3}{0.6353} \le n < \frac{4}{0.6353}$

$\frac{3}{0.6353} \approx 4.722 \le n < \frac{4}{0.6353} \approx 6.297$

したがって、整数 $n$ は $5, 6$ の2つです。

3. 最終的な答え

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