天体の表面から鉛直に打ち上げられるロケットについて考える問題です。重力加速度は $g$、打ち上げ時の質量は $m_0$、ロケットは毎秒質量 $M$ のガスを相対速度 $u$ で後方に噴射します。外力がないとき、以下の問いに答えます。 (a) ロケットの質量 $m(t)$ を求めます。 (b) $m(t)$ を用い、ロケットの速度 $v$ についての運動方程式を立てます。 (c) 運動方程式を解き、$v(t)$ を求めます。 (d) $v(t)$ を1回積分し、$y(t)$ を求めます。

1. 問題の内容

天体の表面から鉛直に打ち上げられるロケットについて考える問題です。重力加速度は $g$、打ち上げ時の質量は $m_0$、ロケットは毎秒質量 $M$ のガスを相対速度 $u$ で後方に噴射します。外力がないとき、以下の問いに答えます。

(a) ロケットの質量 $m(t)$ を求めます。

(b) $m(t)$ を用い、ロケットの速度 $v$ についての運動方程式を立てます。

(c) 運動方程式を解き、$v(t)$ を求めます。

(d) $v(t)$ を1回積分し、$y(t)$ を求めます。

2. 解き方の手順

(a) ロケットの質量 $m(t)$ を求める

ロケットは毎秒 $M$ のガスを噴射するため、時間 $t$ 後には $Mt$ のガスを噴射しています。初期質量が $m_0$ なので、$m(t)$ は

$m(t) = m_0 - Mt$

となります。

(b) ロケットの速度 $v$ についての運動方程式を立てる

ロケットの運動方程式は、推進力と重力の釣り合いで表されます。推進力は $u \frac{dm}{dt}$ で与えられます。

$\frac{dm}{dt} = -M$

なので、運動方程式は

$m(t) \frac{dv}{dt} = uM - m(t)g$

となります。ここで、$m(t) = m_0 - Mt$ を代入すると、

$(m_0 - Mt) \frac{dv}{dt} = uM - (m_0 - Mt)g$

となります。

(c) 運動方程式を解き、$v(t)$ を求める

運動方程式を変形すると、

$\frac{dv}{dt} = \frac{uM}{m_0 - Mt} - g$

両辺を時間 $t$ で積分します。

$\int \frac{dv}{dt} dt = \int (\frac{uM}{m_0 - Mt} - g) dt$

$v(t) = \int \frac{uM}{m_0 - Mt} dt - \int g dt$

$v(t) = -u \ln(m_0 - Mt) - gt + C$

初期条件 $v(0) = 0$ より、$C = u \ln(m_0)$ なので、

$v(t) = u \ln(m_0) - u \ln(m_0 - Mt) - gt$

$v(t) = u \ln(\frac{m_0}{m_0 - Mt}) - gt$

(d) $v(t)$ を1回積分し、$y(t)$ を求める

$y(t) = \int v(t) dt = \int [u \ln(\frac{m_0}{m_0 - Mt}) - gt] dt$

$y(t) = u \int \ln(\frac{m_0}{m_0 - Mt}) dt - \int gt dt$

$y(t) = u \int [\ln(m_0) - \ln(m_0 - Mt)] dt - \frac{1}{2}gt^2 + C'$

$y(t) = u t \ln(m_0) - u \int \ln(m_0 - Mt) dt - \frac{1}{2}gt^2 + C'$

$\int \ln(m_0 - Mt) dt = -\frac{1}{M}(m_0 - Mt)\ln(m_0 - Mt) + t$

$y(t) = u t \ln(m_0) + \frac{u}{M}(m_0 - Mt)\ln(m_0 - Mt) - ut - \frac{1}{2}gt^2 + C'$

初期条件 $y(0) = 0$ より、$0 = \frac{u}{M}m_0\ln(m_0) + C'$

$C' = -\frac{u}{M}m_0\ln(m_0)$

$y(t) = u t \ln(m_0) + \frac{u}{M}(m_0 - Mt)\ln(m_0 - Mt) - ut - \frac{1}{2}gt^2 - \frac{u}{M}m_0\ln(m_0)$

$y(t) = \frac{u}{M} [Mt \ln(m_0) + (m_0 - Mt) \ln(m_0 - Mt) - Mt - m_0 \ln(m_0)] - \frac{1}{2}gt^2$

3. 最終的な答え

(a) $m(t) = m_0 - Mt$

(b) $(m_0 - Mt) \frac{dv}{dt} = uM - (m_0 - Mt)g$

(c) $v(t) = u \ln(\frac{m_0}{m_0 - Mt}) - gt$

(d) $y(t) = \frac{u}{M} [Mt \ln(m_0) + (m_0 - Mt) \ln(m_0 - Mt) - Mt - m_0 \ln(m_0)] - \frac{1}{2}gt^2$