質量 $m_1$ の質点1と質量 $m_2$ の質点2があり、それぞれ力 $\vec{F_1}$ と $\vec{F_2}$ を受けている。それぞれの位置ベクトルを $\vec{r_1}$ と $\vec{r_2}$ とする。 (1) 2つの質点が内力のみを受け、作用・反作用の法則 $\vec{F_1} = -\vec{F_2}$ が成り立つとき、運動量保存則 $m_1 \vec{v_1} + m_2 \vec{v_2} =$ 一定 が成立することを示す。ここで、$\vec{v_1} = \frac{d\vec{r_1}}{dt}$、$\vec{v_2} = \frac{d\vec{r_2}}{dt}$ である。 (2) 重心の位置ベクトルを $\vec{r_G} = \frac{m_1 \vec{r_1} + m_2 \vec{r_2}}{m_1 + m_2}$ とする。(1)のとき、重心は等速運動することを示す。 (3) 重心と共に動いている観測者が質点1と質点2を観測すると、全運動量は0になることを示す。 (4) 2つの質点の相対位置ベクトルを $\vec{r} = \vec{r_2} - \vec{r_1}$ とする。$r = |\vec{r}|$ のとき、$\vec{F_1} = - \vec{F_2} = f(r) \frac{\vec{r}}{r}$ と表されるとき、$\mu \frac{d^2 \vec{r}}{dt^2} = -f(r) \frac{\vec{r}}{r}$ を示す。ここで、$\mu = \frac{m_1 m_2}{m_1 + m_2}$ であり、$f(r)$ は $r$ の任意関数である。

1. 問題の内容

質量 $m_1$ の質点1と質量 $m_2$ の質点2があり、それぞれ力 $\vec{F_1}$ と $\vec{F_2}$ を受けている。それぞれの位置ベクトルを $\vec{r_1}$ と $\vec{r_2}$ とする。

(1) 2つの質点が内力のみを受け、作用・反作用の法則 $\vec{F_1} = -\vec{F_2}$ が成り立つとき、運動量保存則 $m_1 \vec{v_1} + m_2 \vec{v_2} =$ 一定 が成立することを示す。ここで、$\vec{v_1} = \frac{d\vec{r_1}}{dt}$、$\vec{v_2} = \frac{d\vec{r_2}}{dt}$ である。

(2) 重心の位置ベクトルを $\vec{r_G} = \frac{m_1 \vec{r_1} + m_2 \vec{r_2}}{m_1 + m_2}$ とする。(1)のとき、重心は等速運動することを示す。

(3) 重心と共に動いている観測者が質点1と質点2を観測すると、全運動量は0になることを示す。

(4) 2つの質点の相対位置ベクトルを $\vec{r} = \vec{r_2} - \vec{r_1}$ とする。$r = |\vec{r}|$ のとき、$\vec{F_1} = - \vec{F_2} = f(r) \frac{\vec{r}}{r}$ と表されるとき、$\mu \frac{d^2 \vec{r}}{dt^2} = -f(r) \frac{\vec{r}}{r}$ を示す。ここで、$\mu = \frac{m_1 m_2}{m_1 + m_2}$ であり、$f(r)$ は $r$ の任意関数である。

2. 解き方の手順

(1) 運動方程式は $\vec{F_1} = m_1 \frac{d\vec{v_1}}{dt}$ と $\vec{F_2} = m_2 \frac{d\vec{v_2}}{dt}$ である。$\vec{F_1} = - \vec{F_2}$ なので、

$m_1 \frac{d\vec{v_1}}{dt} + m_2 \frac{d\vec{v_2}}{dt} = 0$

$\frac{d}{dt} (m_1 \vec{v_1} + m_2 \vec{v_2}) = 0$

積分すると $m_1 \vec{v_1} + m_2 \vec{v_2} =$ 一定 となる。

(2) 重心の速度 $\vec{v_G}$ は $\vec{v_G} = \frac{d\vec{r_G}}{dt} = \frac{m_1 \vec{v_1} + m_2 \vec{v_2}}{m_1 + m_2}$ となる。(1)より、$m_1 \vec{v_1} + m_2 \vec{v_2} =$ 一定 なので、$\vec{v_G}$ も一定となる。したがって、重心は等速運動をする。

(3) 重心と共に動く観測者から見た質点1の速度を $\vec{v'_1}$、質点2の速度を $\vec{v'_2}$ とすると、$\vec{v'_1} = \vec{v_1} - \vec{v_G}$、$\vec{v'_2} = \vec{v_2} - \vec{v_G}$ である。

全運動量は $m_1 \vec{v'_1} + m_2 \vec{v'_2} = m_1 (\vec{v_1} - \vec{v_G}) + m_2 (\vec{v_2} - \vec{v_G}) = m_1 \vec{v_1} + m_2 \vec{v_2} - (m_1 + m_2) \vec{v_G}$

$\vec{v_G}$ の定義より、$(m_1 + m_2) \vec{v_G} = m_1 \vec{v_1} + m_2 \vec{v_2}$ なので、$m_1 \vec{v'_1} + m_2 \vec{v'_2} = 0$ となる。

(4) $\vec{r} = \vec{r_2} - \vec{r_1}$ より、$\frac{d^2 \vec{r}}{dt^2} = \frac{d^2 \vec{r_2}}{dt^2} - \frac{d^2 \vec{r_1}}{dt^2}$ となる。

運動方程式より、$m_1 \frac{d^2 \vec{r_1}}{dt^2} = \vec{F_1}$、 $m_2 \frac{d^2 \vec{r_2}}{dt^2} = \vec{F_2}$ である。

$\frac{d^2 \vec{r}}{dt^2} = \frac{\vec{F_2}}{m_2} - \frac{\vec{F_1}}{m_1} = \frac{\vec{F_2}}{m_2} + \frac{\vec{F_2}}{m_1} = \left( \frac{1}{m_1} + \frac{1}{m_2} \right) \vec{F_2} = \frac{m_1 + m_2}{m_1 m_2} \vec{F_2}$

したがって、$\frac{m_1 m_2}{m_1 + m_2} \frac{d^2 \vec{r}}{dt^2} = \vec{F_2}$

$\mu = \frac{m_1 m_2}{m_1 + m_2}$ であり、$\vec{F_2} = -f(r) \frac{\vec{r}}{r}$ なので、

$\mu \frac{d^2 \vec{r}}{dt^2} = -f(r) \frac{\vec{r}}{r}$ となる。

3. 最終的な答え

(1) $m_1 \vec{v_1} + m_2 \vec{v_2} =$ 一定

(2) 重心は等速運動をする

(3) 全運動量は0

(4) $\mu \frac{d^2 \vec{r}}{dt^2} = -f(r) \frac{\vec{r}}{r}$