与えられた式 $ab(a-b) + bc(b-c) + ca(c-a)$ を因数分解せよ。

1. 問題の内容

与えられた式 $ab(a-b) + bc(b-c) + ca(c-a)$ を因数分解せよ。

2. 解き方の手順

まず、式を展開します。

$ab(a-b) + bc(b-c) + ca(c-a) = a^2b - ab^2 + b^2c - bc^2 + c^2a - ca^2$

次に、この式を $a$ について整理します。

$a^2b - ab^2 + b^2c - bc^2 + c^2a - ca^2 = (b-c)a^2 - (b^2-c^2)a + (b^2c - bc^2)$

ここで、$b^2 - c^2 = (b-c)(b+c)$ および $b^2c - bc^2 = bc(b-c)$ を用いて式を書き換えます。

$(b-c)a^2 - (b-c)(b+c)a + bc(b-c) = (b-c)[a^2 - (b+c)a + bc]$

さらに、括弧の中を因数分解します。

$a^2 - (b+c)a + bc = (a-b)(a-c)$

したがって、元の式は次のように因数分解されます。

$(b-c)(a-b)(a-c) = -(a-b)(b-c)(c-a)$

3. 最終的な答え

$-(a-b)(b-c)(c-a)$