与えられた式 $6x^2 - xy - 2y^2 - 14x + 7y + 4$ を因数分解する。

1. 問題の内容

与えられた式 $6x^2 - xy - 2y^2 - 14x + 7y + 4$ を因数分解する。

2. 解き方の手順

まず、$x$と$y$の二次式部分を因数分解できるか試みます。

$6x^2 - xy - 2y^2 = (2x + y)(3x - 2y)$

これを利用して、与式を$(2x + y + a)(3x - 2y + b)$の形に因数分解できるか試します。

展開すると、

$(2x + y + a)(3x - 2y + b) = 6x^2 - 4xy + 2bx + 3xy - 2y^2 + by + 3ax - 2ay + ab$

$= 6x^2 - xy - 2y^2 + (2b + 3a)x + (b - 2a)y + ab$

与式と比較すると、

$2b + 3a = -14$

$b - 2a = 7$

$ab = 4$

この連立方程式を解きます。

$b = 2a + 7$ を $2b + 3a = -14$ に代入すると、

$2(2a + 7) + 3a = -14$

$4a + 14 + 3a = -14$

$7a = -28$

$a = -4$

$b = 2(-4) + 7 = -8 + 7 = -1$

$ab = (-4)(-1) = 4$ となり、整合性が取れています。

したがって、

$6x^2 - xy - 2y^2 - 14x + 7y + 4 = (2x + y - 4)(3x - 2y - 1)$

3. 最終的な答え

$(2x + y - 4)(3x - 2y - 1)$