与えられた常用対数の値 $\log_{10} 2 = 0.3010$ および $\log_{10} 3 = 0.4771$ を用いて、$3^{20}$ と $6^{10}$ の桁数をそれぞれ求める問題です。

1. 問題の内容

与えられた常用対数の値 $\log_{10} 2 = 0.3010$ および $\log_{10} 3 = 0.4771$ を用いて、$3^{20}$ と $6^{10}$ の桁数をそれぞれ求める問題です。

2. 解き方の手順

(1) $3^{20}$ の桁数を求める。

まず、$3^{20}$ の常用対数を計算します。

$\log_{10} 3^{20} = 20 \log_{10} 3 = 20 \times 0.4771 = 9.542$

次に、 $3^{20}$ の桁数を求めます。 $3^{20}$ の桁数は $\log_{10} 3^{20}$ の整数部分に1を加えたものに等しくなります。

$\log_{10} 3^{20} = 9.542$ より、整数部分は9なので、桁数は $9+1=10$ 桁です。

(2) $6^{10}$ の桁数を求める。

まず、$6^{10}$ の常用対数を計算します。 $6 = 2 \times 3$ なので、

$\log_{10} 6^{10} = 10 \log_{10} 6 = 10 \log_{10} (2 \times 3) = 10 (\log_{10} 2 + \log_{10} 3) = 10 (0.3010 + 0.4771) = 10 \times 0.7781 = 7.781$

次に、$6^{10}$ の桁数を求めます。 $6^{10}$ の桁数は $\log_{10} 6^{10}$ の整数部分に1を加えたものに等しくなります。

$\log_{10} 6^{10} = 7.781$ より、整数部分は7なので、桁数は $7+1=8$ 桁です。

3. 最終的な答え

(1) $3^{20}$ の桁数は 10 桁

(2) $6^{10}$ の桁数は 8 桁