## 問題の内容

## 問題の内容

この問題は、対数関数の定義に基づいて、与えられた対数式を満たす $a$ の値を求める問題です。具体的には、以下の2つの問題を解く必要があります。

(3) $\log_a \sqrt{5} = \frac{1}{2}$

(4) $\log_a \frac{1}{16} = -2$

## 解き方の手順

(3) $\log_a \sqrt{5} = \frac{1}{2}$ について:

1. 対数の定義に基づき、対数式を指数式に変換します。対数の定義より、$\log_a x = y$ は $a^y = x$ と同値です。したがって、$\log_a \sqrt{5} = \frac{1}{2}$ は $a^{\frac{1}{2}} = \sqrt{5}$ と同値になります。

2. $a^{\frac{1}{2}} = \sqrt{5}$ の両辺を2乗して、$a$ について解きます。

$(a^{\frac{1}{2}})^2 = (\sqrt{5})^2$

$a = 5$

(4) $\log_a \frac{1}{16} = -2$ について:

1. 対数の定義に基づき、対数式を指数式に変換します。対数の定義より、$\log_a x = y$ は $a^y = x$ と同値です。したがって、$\log_a \frac{1}{16} = -2$ は $a^{-2} = \frac{1}{16}$ と同値になります。

2. $a^{-2} = \frac{1}{16}$ を $a$ について解きます。$a^{-2} = \frac{1}{a^2}$ であるため、$\frac{1}{a^2} = \frac{1}{16}$ となります。

3. 両辺の逆数をとると、$a^2 = 16$ となります。

4. 両辺の平方根をとると、$a = \pm 4$ となります。ただし、対数の底 $a$ は正である必要があるため、$a > 0$ かつ $a \neq 1$ でなければなりません。したがって、$a = 4$ が解となります。

## 最終的な答え

(3) $a = 5$

(4) $a = 4$