池の周りに1周4.8kmの道がある。AさんとBさんが同じ場所から同時に出発し、反対方向に回ると8分で出会い、同じ方向に回ると72分でAさんがBさんをちょうど1周追い抜く。AさんとBさんの速さをそれぞれ時速で求めよ。

1. 問題の内容

池の周りに1周4.8kmの道がある。AさんとBさんが同じ場所から同時に出発し、反対方向に回ると8分で出会い、同じ方向に回ると72分でAさんがBさんをちょうど1周追い抜く。AさんとBさんの速さをそれぞれ時速で求めよ。

2. 解き方の手順

まず、AさんとBさんの速度をそれぞれ $x$ km/時、$y$ km/時とする。

反対方向に回ると8分で出会うので、8分間で2人が進んだ距離の合計は4.8kmになる。

8分は $\frac{8}{60} = \frac{2}{15}$ 時間なので、

$$\frac{2}{15}x + \frac{2}{15}y = 4.8$$

両辺に $\frac{15}{2}$ をかけて、

$$x + y = 4.8 \times \frac{15}{2} = 2.4 \times 15 = 36$$

同じ方向に回ると72分でAさんがBさんを1周追い抜くので、72分間でAさんがBさんより4.8km多く進むことになる。

72分は $\frac{72}{60} = \frac{6}{5}$ 時間なので、

$$\frac{6}{5}x - \frac{6}{5}y = 4.8$$

両辺に $\frac{5}{6}$ をかけて、

$$x - y = 4.8 \times \frac{5}{6} = 0.8 \times 5 = 4$$

連立方程式

$$x + y = 36$$

$$x - y = 4$$

を解く。2つの式を足し合わせると、

$$2x = 40$$

$$x = 20$$

$x = 20$ を $x + y = 36$ に代入すると、

$$20 + y = 36$$

$$y = 16$$

3. 最終的な答え

Aさんの速さは時速20km、Bさんの速さは時速16km。