1 の 3 乗根のうち虚数であるものの1つを $\omega$ とするとき、$\omega^{47} + \omega^{91} + 3$ の値を求めよ。

1. 問題の内容

1 の 3 乗根のうち虚数であるものの1つを $\omega$ とするとき、$\omega^{47} + \omega^{91} + 3$ の値を求めよ。

2. 解き方の手順

$\omega$ は $x^3 = 1$ の解なので $\omega^3 = 1$ が成り立つ。また、$\omega$ は虚数解なので、$\omega^2 + \omega + 1 = 0$ が成り立つ。

$\omega^{47} = \omega^{3 \times 15 + 2} = (\omega^3)^{15} \times \omega^2 = 1^{15} \times \omega^2 = \omega^2$

$\omega^{91} = \omega^{3 \times 30 + 1} = (\omega^3)^{30} \times \omega = 1^{30} \times \omega = \omega$

したがって、

$\omega^{47} + \omega^{91} + 3 = \omega^2 + \omega + 3$

$\omega^2 + \omega + 1 = 0$ より、$\omega^2 + \omega = -1$ なので、

$\omega^{47} + \omega^{91} + 3 = -1 + 3 = 2$

3. 最終的な答え

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