問題5は、パスカルの三角形を用いて、以下の式の展開式を求める問題です。 (1) $(a+b)^4$ (2) $(x+y)^5$ (3) $(a+1)^6$

1. 問題の内容

問題5は、パスカルの三角形を用いて、以下の式の展開式を求める問題です。

(1) $(a+b)^4$

(2) $(x+y)^5$

(3) $(a+1)^6$

2. 解き方の手順

パスカルの三角形を使って、二項展開の係数を求め、展開式を作成します。

(1) $(a+b)^4$ の展開

パスカルの三角形の5段目は 1, 4, 6, 4, 1 なので、

$(a+b)^4 = 1a^4b^0 + 4a^3b^1 + 6a^2b^2 + 4a^1b^3 + 1a^0b^4$

$= a^4 + 4a^3b + 6a^2b^2 + 4ab^3 + b^4$

(2) $(x+y)^5$ の展開

パスカルの三角形の6段目は 1, 5, 10, 10, 5, 1 なので、

$(x+y)^5 = 1x^5y^0 + 5x^4y^1 + 10x^3y^2 + 10x^2y^3 + 5x^1y^4 + 1x^0y^5$

$= x^5 + 5x^4y + 10x^3y^2 + 10x^2y^3 + 5xy^4 + y^5$

(3) $(a+1)^6$ の展開

パスカルの三角形の7段目は 1, 6, 15, 20, 15, 6, 1 なので、

$(a+1)^6 = 1a^6(1)^0 + 6a^5(1)^1 + 15a^4(1)^2 + 20a^3(1)^3 + 15a^2(1)^4 + 6a^1(1)^5 + 1a^0(1)^6$

$= a^6 + 6a^5 + 15a^4 + 20a^3 + 15a^2 + 6a + 1$

3. 最終的な答え

(1) $(a+b)^4 = a^4 + 4a^3b + 6a^2b^2 + 4ab^3 + b^4$

(2) $(x+y)^5 = x^5 + 5x^4y + 10x^3y^2 + 10x^2y^3 + 5xy^4 + y^5$

(3) $(a+1)^6 = a^6 + 6a^5 + 15a^4 + 20a^3 + 15a^2 + 6a + 1$