$\triangle ABC$ の外接円上に点D, Eがあり、$AD \perp BC$ である。$\angle ABC = 42^\circ$, $\angle ACB = 58^\circ$ のとき、$\angle AED$ の大きさを求める。

1. 問題の内容

$\triangle ABC$ の外接円上に点D, Eがあり、$AD \perp BC$ である。$\angle ABC = 42^\circ$, $\angle ACB = 58^\circ$ のとき、$\angle AED$ の大きさを求める。

2. 解き方の手順

まず、$\angle BAC$ を求める。

$\triangle ABC$ の内角の和は $180^\circ$ であるから、

$\angle BAC = 180^\circ - \angle ABC - \angle ACB = 180^\circ - 42^\circ - 58^\circ = 180^\circ - 100^\circ = 80^\circ$

次に、$\angle DAC$ を求める。$AD \perp BC$ より、$\angle ADC = 90^\circ$である。$\angle CAD = 90^\circ - \angle C$より、$\angle DAC = 90^\circ - \angle C$

$\angle DAC = 90^\circ - \angle ACB = 90^\circ - 58^\circ = 32^\circ$

$\angle DAE = \angle BAC - \angle BAD$

$\angle BAD = \angle BAC - \angle DAC = 80^\circ - 32^\circ = 48^\circ$

$AD \perp BC$ より $\angle ADB = 90^\circ$.

$\angle DAB = 90^\circ - \angle B = 90^\circ - 42^\circ = 48^\circ$

四角形 $ABCE$ は円に内接するので、$\angle AED = \angle ACB$, $\angle ACE = \angle ABE$

$\angle ABE = \angle ACB=58^\circ$

円周角の定理より、$\angle DBC = \angle DAC = 32^\circ$, $\angle DCA = \angle DBA = x$.

$\angle BAD = \angle BAC - \angle DAC = 80^\circ - 32^\circ = 48^\circ$.

$\angle CBD = \angle CAD = 32^\circ$.

四角形 ABDE は円に内接するので、$\angle AED = 180^\circ - \angle ABD = 180^\circ - \angle ABC - \angle CBD$.

$\angle AED = 180^\circ - 42^\circ - 48^\circ = 90^\circ$.

$\angle ABC = 42^\circ$. $\angle DAC = 32^\circ$. $\angle AED=80^\circ$.

$\angle AED$ は $\angle ABC + \angle ACB = 42^\circ + 58^\circ = 100^\circ$　に対して、$180 - 100 = 80$

3. 最終的な答え

$80^\circ$