三角形ABCの外接円上に点D, Eがあり、ADはBCと垂直である。$\angle ABC = 42^\circ$, $\angle ACB = 58^\circ$のとき、$\angle AED$の大きさを求める。

1. 問題の内容

三角形ABCの外接円上に点D, Eがあり、ADはBCと垂直である。$\angle ABC = 42^\circ$, $\angle ACB = 58^\circ$のとき、$\angle AED$の大きさを求める。

2. 解き方の手順

まず、三角形ABCの内角の和は180度なので、$\angle BAC$を求める。

$\angle BAC = 180^\circ - \angle ABC - \angle ACB = 180^\circ - 42^\circ - 58^\circ = 80^\circ$

次に、ADはBCと垂直なので、$\angle ADB = 90^\circ$である。

三角形ABDにおいて、$\angle BAD = 90^\circ - \angle ABC = 90^\circ - 42^\circ = 48^\circ$

また、$\angle CAD = \angle BAC - \angle BAD = 80^\circ - 48^\circ = 32^\circ$

円周角の定理より、$\angle CED = \angle CAD = 32^\circ$。

四角形ABCEは円に内接する四角形なので、$\angle AEB + \angle ACB = 180^\circ$である。

$\angle AEB = 180^\circ - \angle ACB = 180^\circ - 58^\circ = 122^\circ$

したがって、$\angle AED = \angle AEB - \angle CED = 122^\circ$ 。ただしこれはおかしい。

正しい解き方：

$\angle CAD = 90 - 58 = 32$

$\angle AED = \angle ABC + \angle CAD = 42 + 32 = 74$

3. 最終的な答え

$\angle AED = 74^\circ$